Um feixe de luz ultravioleta de 250 nm incide sobre uma superfície polida de cobre. O potencial de corte necessário para impedir a emissão de fotoelétrons é igual a 0,180 \mathrm{~V}. Qual frequência de corte dessa superfície? (b) Calcule a função trabalho dessa superfície? (c) O que aconteceria se trocássemos a luz ultravioleta por uma luz infravermelha e aumentássemos a intensidade da luz? Justifique sua resposta. (0,6+0,6+0,8 \mathrm{pts})
\begin{gathered} V_{x}=\frac{V_{x}^{\prime}+u}{1+\frac{u V_{x}^{\prime}}{c^{2}}} \\ V_{y}=\frac{V_{y}^{\prime} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{u V_{x}^{2}}{c^{2}}} \\ \rho(\nu)=\frac{8 \pi \nu^{2}}{c^{3}} \frac{h \nu}{\exp \left(\frac{h \nu}{k_{B} T}\right)-1} \\ R_{T}=\int(c / 4) \rho(\nu) d \nu \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista das informações e perguntas):
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda da luz incidente: \lambda=250\\ \mathrm{nm}.
    • Potencial de corte (potencial de frenagem) necessário: V_{x}=0,180\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a frequência de corte (frequência limiar) da superfície?
    (b) Calcule a função trabalho (work function) dessa superfície.
    (c) O que aconteceria se trocássemos a luz ultravioleta por luz infravermelha e aumentássemos a intensidade da luz? Justificar.
  • Constantes que usarei (valores numéricos):
    • Velocidade da luz: c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
    • Constante de Planck: h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
    • Carga do elétron: e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Observação: vou usar a equação do efeito fotoelétrico para ligar energia dos fótons, função trabalho e potencial de corte.

Passo 2

Ensinando a fórmula essencial (explicação didática do conceito):
  • No efeito fotoelétrico cada fóton tem energia \,h\nu, onde:
    • \,h é a constante de Planck e
    • \nu é a frequência da luz.
  • A função trabalho \varphi é a energia mínima necessária para arrancar um elétron da superfície (unidade: joule).
  • Se um fóton incide com energia maior que \varphi, o elétron sai com energia cinética máxima
K_{\max}=h\nu-\varphi.
  • Medimos o potencial de parada V_{x} tal que a energia elétrica necessária para parar o elétron é eV_{x}. Logo
eV_{x}=K_{\max}=h\nu-\varphi.
  • Reorganizando, temos duas fórmulas úteis que vou usar:
\varphi=h\nu-eV_{x}, \qquad \nu_{0}=\frac{\varphi}{h}.
Aqui \nu_{0} é a frequência de corte (limiar): para \nu<\nu_{0} não há emissão, independentemente da intensidade.

Passo 3

Calcular a frequência da luz ultravioleta incidente (passo intermédio útil):
  • Relação entre frequência e comprimento de onda:
\nu=\frac{c}{\lambda}.
  • Substituindo \lambda=250\\ \mathrm{nm}=250\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
\nu=\frac{3,00\times10^{8}}{250\times10^{-9}}=1,20\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular a função trabalho \varphi usando eV_{x}=h\nu-\varphi (passo a passo e contas):
  • Primeiro calcular a energia do fóton incidente:
h\nu=(6,626\times10^{-34})\cdot(1,20\times10^{15})=7,95\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Energia associada ao potencial de corte:
eV_{x}=(1,602\times10^{-19})\cdot(0,180)=2,88\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Portanto a função trabalho é
\varphi=h\nu-eV_{x}=7,95\times10^{-19}-2,88\times10^{-20}=7,66\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
(Aqui cada passo numérico foi mostrado para que dê para refazer na prova sem calculadora.)

Passo 5

Calcular a frequência de corte \nu_{0}=\varphi/h (mostrar conta):
\nu_{0}=\frac{7,66\times10^{-19}}{6,626\times10^{-34}}=1,16\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: qualquer luz com \nu<1,16\times10^{15}\\ \mathrm{Hz} não consegue arrancar elétrons dessa superfície.

Passo 6

Converter a função trabalho para elétron-volts (unidade usual e interpretação):
  • Para converter joules em elétron-volts: 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
\phi_{\text{(eV)}}=\frac{7,66\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}=4,78\\ \mathrm{eV}.
Comentário didático: \varphi\approx4,78\\ \mathrm{eV} é a energia mínima por elétron necessária para escapar. Na prova é comum dar a resposta em eV porque facilita a comparação com energias de fótons (por exemplo UV tipicamente alguns eV).

Passo 7

Resposta conceitual e justificativa para a parte (c) (explicação didática, sem pular etapas):
  • Energia de cada fóton depende só da frequência: E_{\text{fóton}}=h\nuó. Aumentar a intensidade aumenta o número de fótons por segundo, mas não aumenta a energia de cada fóton.
  • Se trocarmos a luz ultravioleta por luz infravermelha típica, a frequência da infravermelha \nu_{\text{IR}} será bem menor que \nu de 250\\ \mathrm{nm}, e muito provavelmente \nu_{\text{IR}}<\nu_{0}=1,16\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
  • Consequência: cada fóton infravermelho terá energia h\nu_{\text{IR}}<\varphi, logo nenhum fóton individual tem energia suficiente para arrancar elétrons. Mesmo aumentando muito a intensidade (ou seja, aumentando o fluxo de fótons), não haverá emissão de fotoelétrons.
  • Observação adicional útil para a prova: se a frequência fosse maior que \nu_{0}, aumentar a intensidade aumentaria a corrente de fotoelétrons (mais elétrons por segundo), mas não aumentaria a energia cinética máxima dos elétrons (logo o potencial de parada não mudaria).

Resposta

(a) \nu_{0}=1,16\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
(b) \varphi=7,66\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=4,78\\ \mathrm{eV}
(c) Não haveria emissão de fotoelétrons: luz infravermelha típica tem \nu<\nu_{0}, logo h\nu<\varphi e nenhum fóton individual arrancaria elétrons; aumentar a intensidade apenas aumenta o número de fótons, não a energia por fóton, portanto não gera fotoemissão.

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