Encontre a área da superfície da parte do plano
que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Vamos listar o que isso significa e os dados que temos:
- “Primeiro octante” quer dizer
, , . - A parte do plano no primeiro octante é a peça limitada pelos planos coordenados
, , ; isto corta o plano em um triângulo. - Precisamos encontrar a área desse triângulo sobre a superfície do plano.
Passo 2
Encontrar os pontos onde o plano intercepta os eixos (essas interseções definem os vértices do triângulo):
- Interseção com o eixo
(quando , ): . Ponto . - Interseção com o eixo
(quando , ): . Ponto . - Interseção com o eixo
(quando , ): . Ponto .
Logo a parte do plano no primeiro octante é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Método escolhido: usar a expressão de uma superfície como gráfico
e aplicar a fórmula de área projetada no plano
. Escolhi este método porque é direto aqui: o plano pode ser escrito facilmente como função
de
e a fórmula reduz muito o cálculo (a integranda será constante).
Resolver a equação do plano para
:
Isto define uma superfície do tipo
com
O domínio projetado
no plano
(onde
) é o triângulo com vértices
,
,
. Em desigualdade:
ou seja
e
.
Passo 4
Lembrando a fórmula de área para uma superfície dada por
sobre
:
Aqui
e
são as derivadas parciais:
é a taxa de variação de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a taxa de variação em relação a
. Para funções lineares como esta, as parciais são constantes e representam as inclinações nas direções
e
.
Calcule as parciais:
Portanto a integranda fica
que é constante sobre
.
Passo 5
Como a integranda é constante, a integral separa-se:
Agora calcular a área do triângulo
no plano
. É um triângulo com base
(no eixo
) e altura
(no eixo
), logo
Substituindo:
Passo 6
(check rápido por geometria vetorial como verificação) Usando os vértices no espaço
,
,
, podemos calcular vetores das arestas a partir de
:
O produto vetorial é
cuja norma é
A área do triângulo é metade disso:
coincidindo com o resultado anterior — boa checagem!