Encontre a área da superfície da parte do plano
2 x+3 y+z=6
que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano
2x+3y+z=6
que está no primeiro octante. Vamos listar o que isso significa e os dados que temos:
  • “Primeiro octante” quer dizer x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • A parte do plano no primeiro octante é a peça limitada pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0; isto corta o plano em um triângulo.
  • Precisamos encontrar a área desse triângulo sobre a superfície do plano.

Passo 2

Encontrar os pontos onde o plano intercepta os eixos (essas interseções definem os vértices do triângulo):
  • Interseção com o eixo x (quando y=0, z=0): 2x=6\Rightarrow x=3. Ponto (3,0,0).
  • Interseção com o eixo y (quando x=0, z=0): 3y=6\Rightarrow y=2. Ponto (0,2,0).
  • Interseção com o eixo z (quando x=0, y=0): z=6. Ponto (0,0,6).
Logo a parte do plano no primeiro octante é o triângulo com vértices (3,0,0), (0,2,0) e (0,0,6).

Passo 3

Método escolhido: usar a expressão de uma superfície como gráfico z=f(x,y) e aplicar a fórmula de área projetada no plano xy. Escolhi este método porque é direto aqui: o plano pode ser escrito facilmente como função z de x,y e a fórmula reduz muito o cálculo (a integranda será constante).
Resolver a equação do plano para z:
z=6-2x-3y.
Isto define uma superfície do tipo z=f(x,y) com
f(x,y)=6-2x-3y.
O domínio projetado R no plano xy (onde z\ge0) é o triângulo com vértices (0,0), (3,0), (0,2). Em desigualdade:
R=\{(x,y)\mid x\ge0,\\ y\ge0,\\\ 2x+3y\le6\},
ou seja 0\le x\le3 e 0\le y\le \dfrac{6-2x}{3}.

Passo 4

Lembrando a fórmula de área para uma superfície dada por z=f(x,y) sobre R:
\text{Área}=\iint_{R}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.Á
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais: f_x é a taxa de variação de f em relação a x (mantendo y fixo) e f_y é a taxa de variação em relação a y. Para funções lineares como esta, as parciais são constantes e representam as inclinações nas direções x e y.
Calcule as parciais:
f_x(x,y)=-2,\qquad f_y(x,y)=-3.
Portanto a integranda fica
\sqrt{1+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},
que é constante sobre R.

Passo 5

Como a integranda é constante, a integral separa-se:
\text{Área}=\iint_{R}\sqrt{14}\,dA=\sqrt{14}\cdot \text{Área}(R).ÁÁ
Agora calcular a área do triângulo R no plano xy. É um triângulo com base 3 (no eixo x) e altura 2 (no eixo y), logo
\text{Área}(R)=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3.Á
Substituindo:
\text{Área}=\sqrt{14}\cdot 3=3\sqrt{14}.Á

Passo 6

(check rápido por geometria vetorial como verificação) Usando os vértices no espaço A=(3,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,6), podemos calcular vetores das arestas a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(-3,0,6).
O produto vetorial é
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(12,18,6),
cuja norma é
\sqrt{12^2+18^2+6^2}=\sqrt{504}=6\sqrt{14}.
A área do triângulo é metade disso:
\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{14}=3\sqrt{14},
coincidindo com o resultado anterior — boa checagem!

Resposta

3\sqrt{14}

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