Calcule a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} d S para o campo vetorial dada \vec{F} e a superfície orientada S.
\vec{F}(x, y, z)=\left(z \mathrm{e}^{x y},-3 z \mathrm{e}^{x y}, x y\right), S é o paralelogramo com equações paramétricas x= u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 e com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(z\,e^{xy},\,-3z\,e^{xy},\,xy\bigr)
através da superfície S parametrizada por
\mathbf{r}(u,v) = (x,y,z) = (u+v,\;u-v,\;1+2u+v),
para 0 \le u \le 2, 0 \le v \le 1, com orientação positiva.
Vamos usar a fórmula do fluxo em coordenadas paramétricas:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S = \iint_{D} \vec{F}(\mathbf{r}(u,v))\;\bigl(\mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\bigr)\;du\,dv.

Passo 2

Calculamos os vetores tangentes:
\mathbf{r}_u = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} = (1,\,1,\,2), \quad \mathbf{r}_v = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} = (1,\,-1,\,1).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 1 & 2 \\[3pt] 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\!\cdot1 - 2\!\cdot(-1))\,\mathbf{i} - (1\!\cdot1 - 2\!\cdot1)\,\mathbf{j} + (1\!\cdot(-1) - 1\!\cdot1)\,\mathbf{k} = (3,\,1,\,-2).]

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(u,v) em \vec{F} e fazemos o produto escalar:
x = u+v,\quad y = u-v,\quad z = 1+2u+v,
\vec{F}(\mathbf{r}(u,v)) =\bigl(z\,e^{xy},\,-3z\,e^{xy},\,xy\bigr),
\vec{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v) = (3z\,e^{xy}) + (1)(-3z\,e^{xy}) + (-2)(xy) = -2\,(xy).
Como xy = (u+v)(u-v)=u^2-v^2, o integrando fica
-2\,(u^2 - v^2) \;=\;-2u^2 + 2v^2.

Passo 4

Calculamos a integral dupla sobre o retângulo 0\le u\le2, 0\le v\le1:
\iint_{D}(-2u^2 + 2v^2)\,du\,dv = \int_{u=0}^{2}\!\int_{v=0}^{1}(-2u^2 + 2v^2)\,dv\,du.
Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{2}\bigl[-2u^2\!\cdot\!1\bigr]du +\int_{0}^{2}\bigl[2\!\cdot\!\tfrac{1}{3}\bigr]du = -2\!\int_{0}^{2}u^2du + \tfrac{2}{3}\!\int_{0}^{2}du = -2\cdot\tfrac{8}{3} + \tfrac{2}{3}\cdot2 = -\tfrac{16}{3} + \tfrac{4}{3} = -4.

Resposta

-4

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