Calcule a integral de superfície \iint_{S} \vec{F} d S para o campo vetorial dada \vec{F} e a superfície orientada S. \vec{F}(x, y, z)=\left(z \mathrm{e}^{x y},-3 z \mathrm{e}^{x y}, x y\right), S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 e com orientação positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = \bigl(z\,e^{xy},\,-3z\,e^{xy},\,xy\bigr)
através da superfície S parametrizada por
\mathbf{r}(u,v) = (x,y,z) = (u+v,\;u-v,\;1+2u+v),
para 0 \le u \le 2, 0 \le v \le 1, com orientação positiva.
Vamos usar a fórmula do fluxo em coordenadas paramétricas:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S = \iint_{D} \vec{F}(\mathbf{r}(u,v))\;\bigl(\mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\bigr)\;du\,dv.