A força exercida pela gravidade sobre um refrigeraddor de massa m é \vec{F}=-m g \vec{k}.
(a) Determine o trabalho realizado por essa força em deslocamento do ponto ( 1,0,0 ) ao ponto ( 1,0,2 \pi ) ao longo da curva \alpha dada por \alpha(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), calculando a integral de linha correspondente.
(b) \vec{F} é conservativo ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força da gravidade
\vec{F}(x,y,z) = -m g\,\vec{k}
ao longo da curva \alpha(t)=(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t) que vai do ponto (1,0,0) até (1,0,2\pi).
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e teste de conservatividade (potencial escalar e rotor).
Passo 2
Para calcular o trabalho usamos
\;W = \int_C \vec{F}\cdot d\vec r = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Como o domínio \R^3 é simplesmente conexo e \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}, existe potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=-\nabla\varphi. Por exemplo,
\varphi(x,y,z)=m g z \quad\Longrightarrow\quad -\nabla\varphi=(0,0,-m g)=\vec{F}.
Portanto \vec{F} é conservativo.
Resposta
(a) \;W = -2\pi\,m g.
(b) Sim. Tem \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0} em \R^3 simplesmente conexo e admite potencial \varphi(x,y,z)=m g z, logo é conservativo.