(a) Se \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} é um campo vetorial contínuo definido por \vec{F}(x, y, z)= (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) cujas funções coordenadas P, Q e R são de classe C^{2}. Mostre que
\operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec{F})=0
(b) Use o item (a) para mostrar que não existe um campo vetorial \vec{G} tal que
\operatorname{rot} \vec{G}=\left(2 x, 3 y z,-x z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado quer que mostremos duas coisas. Primeiro, que para um campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R) com P,Q,R\in C^2 vale sempre
\div(\rot \vec{F})=0.
Isso se baseia na definição de rotacional e divergente e na igualdade de derivadas parciais mistas. Depois, usando esse resultado, temos de concluir que não pode existir um campo \vec{G} tal que
\rot \vec{G}=(2x,\,3yz,\,-xz^2),
pois se existisse deveríamos ter \div(\rot\vec{G})=0.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas o rotacional de \vec{F}, temos
\rot \vec{F} =\Bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\Bigr),
onde, por exemplo, R_y=\partial R/\partial y. Então a divergência desse rotacional é
\div(\rot \vec{F}) =\frac{\partial}{\partial x}(R_y - Q_z) +\frac{\partial}{\partial y}(P_z - R_x) +\frac{\partial}{\partial z}(Q_x - P_y).

Passo 3

Expandindo cada termo e usando que P,Q,R\in C^2 (logo as segundas derivadas mistas se comutam), obtemos
\begin{aligned} \div(\rot\vec{F}) &=R_{yx}-Q_{zx}+P_{zy}-R_{xy}+Q_{xz}-P_{yz}\\\ &=(R_{yx}-R_{xy})+(Q_{xz}-Q_{zx})+(P_{zy}-P_{yz})\\\ &=0+0+0=0. \end{aligned}
Portanto mostramos que \div(\rot\vec{F})=0 sempre que \vec{F}\in C^2.

Passo 4

Para usar isso no item (b), basta observar: se existisse \vec{G} com
\rot\vec{G}=(2x,3yz,-xz^2), então pela parte (a) teríamos
\div(\rot\vec{G})=0. Mas vamos checar diretamente a divergência desse vetor dado.

Passo 5

Calculemos
\div(2x,\,3yz,\,-xz^2) =\frac{\partial}{\partial x}(2x) +\frac{\partial}{\partial y}(3yz) +\frac{\partial}{\partial z}(-xz^2).
Isso dá
2 + 3z - 2xz.
Como essa expressão não é identicamente zero em \R^3, temos
\div(\rot\vec{G})=2+3z-2xz\neq 0.

Resposta

Não existe campo vetorial \vec{G} tal que \rot \vec{G}=(2x,3yz,-xz^2).

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