(a) Se
é um campo vetorial contínuo definido por
cujas funções coordenadas
e
são de classe
. Mostre que
(b) Use o item (a) para mostrar que não existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
O enunciado quer que mostremos duas coisas. Primeiro, que para um campo vetorial
com
vale sempre
Isso se baseia na definição de rotacional e divergente e na igualdade de derivadas parciais mistas. Depois, usando esse resultado, temos de concluir que não pode existir um campo
tal que
pois se existisse deveríamos ter
.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas o rotacional de
, temos
onde, por exemplo,
. Então a divergência desse rotacional é
Passo 3
Expandindo cada termo e usando que
(logo as segundas derivadas mistas se comutam), obtemos
Portanto mostramos que
sempre que
.
Passo 4
Para usar isso no item (b), basta observar: se existisse
com
, então pela parte (a) teríamos
. Mas vamos checar diretamente a divergência desse vetor dado.
, então pela parte (a) teríamos
. Mas vamos checar diretamente a divergência desse vetor dado.
Passo 5
Calculemos
Isso dá
Como essa expressão não é identicamente zero em
, temos
.
.
Resposta
Não existe campo vetorial
tal que
.