Calcule a integral de superfície.
, onde
é a porção do plano
no primeiro octante entre
。
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a porção do plano
no primeiro octante, com
. Isso é um caso de integral de superfície de função escalar sobre uma superfície plana. Vamos precisar parametrizar
, achar
via produto vetorial e montar uma integral dupla.
Passo 2
Parametrizamos a superfície por dois parâmetros
e
:
com
(varre a aresta do triângulo no plano
) e
(varre em
).
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes:
O produto vetorial é
e sua norma é
. Logo
Passo 4
Expressamos a função
em termos de
:
Assim a integral fica
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Então
Passo 6
Agora integramos em
:
Multiplicando por
dá
Resposta
-\frac{\sqrt{2}}{2}