Calcule a integral de superfície.
integral duplasigma^sigma x-y-z d S, onde sigma é a porção do plano x+y=1 no primeiro octante entre z=0 e z=1

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de superfície integral duplasigma (x - y - z),dS, onde sigma é a porção do plano x + y = 1 no primeiro octante, com 0 <= z <= 1. Isso é um caso de integral de superfície de função escalar sobre uma superfície plana. Vamos precisar parametrizar sigma, achar dS via produto vetorial e montar uma integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por dois parâmetros u e v:
r(u,v) = (x,y,z) = (u,,1-u,,v),
com 0 <= u <= 1 (varre a aresta do triângulo no plano x+y=1) e 0 <= v <= 1 (varre em z).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
ru = (1,,-1,,0), rv = (0,,0,,1)
O produto vetorial é
ru times rv = (1,-1,0) times (0,0,1) = (-1,-1,0)
e sua norma é |ru times rv| = raiz(-1)^2+(-1)^2+0^2 = raiz2. Logo
dS = |ru times rv|,du,dv = raiz2,du,dv

Passo 4

Expressamos a função f(x,y,z)=x-y-z em termos de u,v:
f = u - (1-u) - v = 2u - 1 - v
Assim a integral fica
integral duplasigma (x - y - z),dS = integralu=0^1integralv=0^1 (2u - 1 - v),raiz2,dv,du

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em v:
integral0^1 (2u - 1 - v),dv = (2u - 1)cdot1 - 1^22 = 2u - 1 - tfrac12 = 2u - tfrac32
Então
integral duplasigma = raiz2 integral0^1 l(2u - tfrac32r),du

Passo 6

Agora integramos em u:
integral0^1 (2u - tfrac32),du = l[u^2 - tfrac32ur]0^1 = 1 - tfrac32 = -tfrac12
Multiplicando por raiz2
-tfrac12raiz2 = -raiz22

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados