Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através da superfície S, ou seja, a integral de superfície integral duplaS F d S.
F(x, y, z)=(x^3+y^3, y^3+z^3, x^3+z^3), S é a esfera gorda x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de vec F(x,y,z)=(x^3+y^3,,y^3+z^3,,x^3+z^3) através da superfície S que é a esfera de raio 2 centrada na origem, usando o Teorema do Divergente. Vamos precisar do conceito de divergente de um campo vetorial e de coordenadas esféricas para avaliar a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, calculamos o divergente de vec F. Lembrando que nablacdotvec F=partialpartial x(x^3+y^3)+partialpartial y(y^3+z^3)+partialpartial z(x^3+z^3), obtemos
nablacdotvec F=3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente, o fluxo pela superfície S é igual à integral tripla do divergente sobre o volume V da bola de raio 2:
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaVnablacdotvec F,dV

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos x^2+y^2+z^2=r^2 e dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi. Assim
integral triplaV3r^2,dV=3integral0^2pi!dphiintegral0^pisintheta,dthetaintegral0^2r^2cdot r^2,dr

Passo 5

Agora separamos e calculamos cada parte:
integral0^2pidphi=2pi, integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^2r^4,dr=2^55=325

Passo 6

Multiplicando tudo:
3times2pitimes2times325=384pi5

Resposta

384pi5

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