Calcule a integral de superfície \oiint_{\partial C} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=\vec{i}+\vec{j}+z\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \vec{k} e \partial C é casca do cilindro x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\oiint_{\partial C}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F(x,y,z)=\vec i+\vec j+z(x^2+y^2)^2\vec k e C é o cilindro sólido definido por
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1\}.
O conteúdo é o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície fechada num integral tripla do divergente de \vec F.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec F:
\div\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(1)+\frac{\partial}{\partial y}(1) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z(x^2+y^2)^2\bigr) =0+0+(x^2+y^2)^2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência:
\oiint_{\partial C}\vec F\cdot d\vec S =\iiint_C\div\vec F\,dV =\iiint_C (x^2+y^2)^2\,dV.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x^2+y^2=r^2 e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. O domínio vira
0\le r\le1,\quad0\le\theta\le2\pi,\quad0\le z\le1.

Passo 4

Montamos e calculamos a integral:
\iiint_C (x^2+y^2)^2\,dV =\int_{z=0}^1\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^1 (r^2)^2\,r\,dr\,d\theta\,dz =\int_0^1dz\;\int_0^{2\pi}d\theta\;\int_0^1 r^5\,dr.
Calculando cada parte:
\int_0^1 r^5\,dr=\frac{1}{6},\quad \int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\quad \int_0^1dz=1.
Logo
\iiint_C (x^2+y^2)^2\,dV =1\cdot2\pi\cdot\frac{1}{6} =\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

Exercícios relacionados