Determine a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é a resolução de equação diferencial a coeficientes constantes, em que vamos usar o polinômio característico para encontrar as raízes e depois montar a base de soluções.
Passo 2
Dividimos todos os termos por
para simplificar a equação:
Em seguida associamos o polinômio característico substituindo
por
.
Passo 3
Escrevemos o polinômio característico:
Reconhecemos que é um quadrado perfeito, pois
Passo 4
Das contas anteriores, obtemos
, ou seja
cada um com multiplicidade 2 (por causa do quadrado).
Passo 5
Para raízes complexas
de multiplicidade 2, as soluções básicas são
Convertendo para a forma real, usamos as combinações de cosseno e seno:
Resposta
A solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.