Determine a solução geral da equação diferencial 2 y^{i v}+4 y^{\prime \prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
2\,y^{(iv)} + 4\,y'' + 2\,y = 0.
O conteúdo envolvido é a resolução de equação diferencial a coeficientes constantes, em que vamos usar o polinômio característico para encontrar as raízes e depois montar a base de soluções.

Passo 2

Dividimos todos os termos por 2 para simplificar a equação:
y^{(iv)} + 2\,y'' + y = 0.
Em seguida associamos o polinômio característico substituindo y^{(k)} por r^k.

Passo 3

Escrevemos o polinômio característico:
r^4 + 2\,r^2 + 1 = 0.
Reconhecemos que é um quadrado perfeito, pois
r^4 + 2\,r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2.

Passo 4

Das contas anteriores, obtemos r^2 + 1 = 0, ou seja
r^2 = -1 \quad\Longrightarrow\quad r = i,\;-i,
cada um com multiplicidade 2 (por causa do quadrado).

Passo 5

Para raízes complexas r = \pm i de multiplicidade 2, as soluções básicas são
e^{ix},\quad x\,e^{ix},\quad e^{-ix},\quad x\,e^{-ix}.
Convertendo para a forma real, usamos as combinações de cosseno e seno:
\cos x,\;\sin x,\;x\cos x,\;x\sin x.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}\,x\cos x + C_{4}\,x\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

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