Um eixo consistindo em um tubo de aço com 50 mm de diâmetro externo deve transmitir 100 kW de potêncía girando a uma frequência de 20 Hz . Determine a espessura do tubo que deverá ser usado, se a tensão de cisalhamento não deve exceder 60 MPa .

Passo 1

O enunciado pede a espessura t de um eixo tubular de aço de diâmetro externo d_o=50 mm, que deve transmitir P=100 kW a f=20 Hz, sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse \tau_{\max}=60 MPa. Vamos usar a teoria de torção em eixos circulares ocos, em que
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J}
com T torque aplicado, r=d_o/2 raio externo e
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^4-d_i^4\bigr)
momento polar de inércia da seção.

Passo 2

Calcular o torque T a partir da potência e da velocidade angular. A velocidade angular é
\omega=2\pi f=2\pi\cdot20=40\pi\\ \text{rad/s}
e, como P=T\,\omega, temos
T=\frac{P}{\omega}=\frac{100\times10^3}{40\pi}\approx795{,}8\\ \text{N\cdotm}.

Passo 3

Escrever a tensão de cisalhamento máxima no eixo oco:
\tau_{\max} =\frac{T\,(d_o/2)}{\displaystyle \frac{\pi}{32}\bigl(d_o^4-d_i^4\bigr)} =\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,(d_o^4-d_i^4)}.
Igualando a 60 MPa (ou 60 N/mm ^2) e usando d_o=50 mm e T=795{,}8 N\cdot m =795800 N\cdot mm, obtemos
60=\frac{16\cdot795800\cdot50}{\pi\,(50^4-d_i^4)}.

Passo 4

Isolando d_i^4:
\pi\,(50^4-d_i^4) =\frac{16\cdot795800\cdot50}{60} \quad\Longrightarrow\quad 50^4-d_i^4 =\frac{16\cdot795800\cdot50}{60\pi} \approx3{,}376\,270
d_i^4=50^4-3{,}376\,270 =6{,}250\,000-3{,}376\,270 \approx2{,}873\,730 \quad\Longrightarrow\quad d_i\approx\bigl(2{,}873\,730\bigr)^{1/4}\approx41{,}18\\ \text{mm}.

Passo 5

A espessura t é
t=\frac{d_o-d_i}{2}=\frac{50-41{,}18}{2}\approx4{,}41\\ \text{mm}.

Resposta

A espessura mínima do tubo deve ser aproximadamente 4{,}4 mm.

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