Calcule a integral.
integral t sec ^2 2 t d t

Passo 1

Temos a integral integral t sec^2(2t) , dt. O conteúdo principal que vamos usar é integração por partes.

Passo 2

Definimos u = t e dv = sec^2(2t) , dt. Assim du = dt e precisamos encontrar v = integral sec^2(2t) , dt.

Passo 3

Para calcular v, fazemos substituição y = 2t (logo dy = 2,dt). Assim:
v = integral sec^2(2t),dt = 12tan(2t)

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t,dv = uv - integral v,du implies integral t sec^2(2t),dt = tcdot12tan(2t) - 12integral tan(2t),dt

Passo 5

Sabendo que integral tan x,dx = -ln|cos x|, temos
integral tan(2t),dt = -12ln|cos(2t)|
Substituindo em (4), chega-se a
integral t sec^2(2t),dt = t2tan(2t) + 14ln|cos(2t)| + C

Resposta

t2tan(2t) + 14ln|cos(2t)| + C

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