Mostre que a matriz B=(ccc1 & 1 & 0 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1) é a inversa de A=(ccc-1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1).

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , e queremos mostrar que é a inversa de . Isso significa que, quando multiplicamos por , o resultado deve ser a matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e entender o conceito de matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é matriz inversa. Uma matriz A times B = I é inversa de se o produto for igual à matriz identidade , que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos multiplicar A = -1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1 , B = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 2 1 & 0 & 1 por . As matrizes são:
Para multiplicar , calculamos cada elemento da nova matriz somando os produtos correspondentes das linhas de pelas colunas de .

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de (-1) times 1 + (-1) times 0 + 2 times 1 = -1 + 0 + 2 = 1 :
  • Elemento (1,1):
(-1) times 1 + (-1) times (-1) + 2 times 0 = -1 + 1 + 0 = 0
  • Elemento (1,2):
(-1) times 0 + (-1) times 2 + 2 times 1 = 0 - 2 + 2 = 0
  • Elemento (1,3):
2 times 1 + 1 times 0 + (-2) times 1 = 2 + 0 - 2 = 0
  • Elemento (2,1):
2 times 1 + 1 times (-1) + (-2) times 0 = 2 - 1 + 0 = 1
  • Elemento (2,2):
2 times 0 + 1 times 2 + (-2) times 1 = 0 + 2 - 2 = 0
  • Elemento (2,3):
1 times 1 + 1 times 0 + (-1) times 1 = 1 + 0 - 1 = 0
  • Elemento (3,1):
1 times 1 + 1 times (-1) + (-1) times 0 = 1 - 1 + 0 = 0
  • Elemento (3,2):
1 times 0 + 1 times 2 + (-1) times 1 = 0 + 2 - 1 = 1
  • Elemento (3,3):

Passo 5

Após calcular todos os elementos, a matriz AB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I fica:
Isso mostra que é, de fato, a inversa de .

Resposta

A matriz é a inversa de porque , a matriz identidade.

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