Calcule a integral.
(2) integral tg^3(x) sec ^5(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3(x),sec^5(x),dx
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades (como tan^2(x)=sec^2(x)-1) e substituição onde aparece o produto sec(x)tan(x).

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a evidenciar o fator sec(x)tan(x),dx. Note que
tan^3(x),sec^5(x) =l(tan^2(x)r),l(sec^4(x)r),l(sec(x)tan(x)r)
Em seguida usamos a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1, ficando
tan^2(x),sec^4(x) =(sec^2(x)-1),sec^4(x) =sec^6(x)-sec^4(x)
Logo a integral vira
integral l(sec^6(x)-sec^4(x)r),l(sec(x)tan(x)r),dx

Passo 3

Fazemos a substituição típica para funções envolvendo sec e tan:
u = sec(x), du = sec(x)tan(x),dx
Assim
integral l(sec^6(x)-sec^4(x)r),l(sec(x)tan(x)r),dx = integral l(u^6-u^4r),du

Passo 4

Agora integramos o polinômio em u:
integral l(u^6-u^4r),du =integral u^6,du-integral u^4,du =u^77-u^55+C

Passo 5

Voltando à variável x com u=sec(x), obtemos
integral tan^3(x),sec^5(x),dx =sec^7(x)7-sec^5(x)5+C

Resposta

sec^7(x)7-sec^5(x)5+C

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