Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
O triangulo definido pelo plano
no primeiro octante. Calcule a área de 3 formas diferentes, utilizando 3 formas explicitas diferentes.
O triangulo definido pelo plano
Passo 1
O enunciado pede a área do triângulo formado pelo plano
no primeiro octante (ou seja, para
). Vamos calcular essa área de três maneiras distintas, cada uma usando uma representação explícita diferente da superfície:
-
sobre o domínio no plano . -
sobre o domínio no plano . -
sobre o domínio no plano .
Passo 2
Representação
.
Da equação do plano temos
Da equação do plano temos
O domínio
é o triângulo com vértices
,
e
, pois em
fica
.
A fórmula de área para é
A fórmula de área para
Calculamos
Como a área de
é
, vem
Passo 3
Representação
.
Da equação do plano isolamos
Da equação do plano isolamos
O domínio
é o triângulo com vértices
,
e
no plano
, pois em
dá
.
Para vale
Para
Aqui
A área de
é
. Logo
Passo 4
Representação
.
Da equação do plano isolamos
Da equação do plano isolamos
O domínio
é o triângulo com vértices
,
e
no plano
, pois em
fica
.
Para temos
Para
A área de
é
. Assim
Resposta
Em todas as três formas explícitas obtemos