Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
O triangulo definido pelo plano 2 x+6 y+ 3 z=6 no primeiro octante. Calcule a área de 3 formas diferentes, utilizando 3 formas explicitas diferentes.

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo formado pelo plano
2x + 6y + 3z = 6
no primeiro octante (ou seja, para x,y,z>=0). Vamos calcular essa área de três maneiras distintas, cada uma usando uma representação explícita diferente da superfície:
  1. z = z(x,y) sobre o domínio no plano xy.
  2. x = x(y,z) sobre o domínio no plano yz.
  3. y = y(x,z) sobre o domínio no plano xz.

Passo 2

Representação z = z(x,y).
Da equação do plano temos
z = 2 - tfrac23,x - 2,y
O domínio Dxy é o triângulo com vértices (0,0), (3,0) e (0,1), pois em z=0 fica tfrac23x +2y =2.
A fórmula de área para z = f(x,y) é
A = integral duplaDxy raiz1 + fx^2 + fy^2,dA
Calculamos
fx = -tfrac23, fy = -2,
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + tfrac49 + 4 = raiztfrac499 = tfrac73
Como a área de Dxy é tfrac12cdot3cdot1 = tfrac32, vem
A = 73,cdot 32 = 72

Passo 3

Representação x = x(y,z).
Da equação do plano isolamos
x = 3 - 3,y - tfrac32,z
O domínio Dyz é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,2) no plano yz, pois em x=0 2y + z =2.
Para x = g(y,z) vale
A = integral duplaDyz raiz1 + gy^2 + gz^2,dA
Aqui
gy = -3, gz = -tfrac32,
raiz1 + 9 + tfrac94 = raiztfrac494 = tfrac72
A área de Dyz é tfrac12cdot1cdot2 =1. Logo
A = 72,cdot 1 = 72

Passo 4

Representação y = y(x,z).
Da equação do plano isolamos
y = 1 - tfracx3 - tfracz2
O domínio Dxz é o triângulo com vértices (0,0), (3,0) e (0,2) no plano xz, pois em y=0 fica tfracx3 + tfracz2 =1.
Para y = h(x,z) temos
A = integral duplaDxz raiz1 + hx^2 + hz^2,dA,
hx = -tfrac13, hz = -tfrac12,
raiz1 + tfrac19 + tfrac14 = raiztfrac4936 = tfrac76
A área de Dxz é tfrac12cdot3cdot2 =3. Assim
A = 76,cdot 3 = 72

Resposta

Em todas as três formas explícitas obtemos
boxed72

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