\hline 13- & \begin{tabular}{l}
Dada a derivada f^prime(x)=x^2-2 x-8 de uma certa função f(x) : \
a) Determine os intervalos em que f(x) é crescente e decrescente. \
b) Determine os intervalos em que a concavidade de f(x) é para cima e para baixo. \
c) Determine as coordenas x dos extremos relativos e ponto de inflexão de f(x). \
d) Esboce um possível gráfico de f(x).

Passo 1

O enunciado fornece a derivada
f'(x)=x^2-2x-8
de uma função f e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– coordenadas x dos extremos relativos e do ponto de inflexão;
– esboço do gráfico.
Para isso usaremos o teste de sinal de f' para monotonicidade, o teste de sinal de
f''(x)=ddxl(x^2-2x-8r)=2x-2
para concavidade, e o teste da segunda derivada para classificar extremos.

Passo 2

Encontramos as raízes de f' resolvendo
x^2-2x-8=0;Longrightarrow;x=2pmraiz4+322=2pm62;Longrightarrow;x=-2,;x=4
Em seguida analisamos o sinal de f'(x):
– para x<-2, x^2-2x-8>0; Rightarrow; f'!>!0; Rightarrow; f crescente;
– para -2<x<4, x^2-2x-8<0; Rightarrow; f'!<!0; Rightarrow; f decrescente;
– para x>4, x^2-2x-8>0; Rightarrow; f'!>!0; Rightarrow; f crescente.

Passo 3

Estudamos a concavidade usando
f''(x)=2x-2
As suas raízes e sinais são:
f''(x)=0 em x=1;
– para x<1, 2x-2<0; Rightarrow;concavidade para baixo;
– para x>1, 2x-2>0; Rightarrow;concavidade para cima.

Passo 4

Coordenadas x dos pontos especiais:
– extremos relativos em f'(x)=0, ou seja x=-2 e x=4. Classificação pelo sinal de f'':
f''(-2)=2(-2)-2=-6<0;Longrightarrow;máximo relativo em x=-2, á
f''(4)=2cdot4-2=6>0;Longrightarrow;mínimo relativo em x=4 í
– ponto de inflexão em f''(1)=0, ou seja em x=1.
Se precisarmos das ordens y num esboço, podemos integrar
f(x)=integrall(x^2-2x-8r),dx=tfrac13x^3-x^2-8x+C,
escolhendo C=0 para simplificar e calcular
f(-2)=tfrac13(-8)-4+16=tfrac283, f(1)=tfrac13-1-8=-tfrac263, f(4)=tfrac643-16-32=-tfrac803

Passo 5

Esboço de um possível gráfico de f:
– é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, logo cai para a esquerda, alcança máximo em (-2,28/3), desce atravessando o ponto de inflexão em (1,-26/3), chega ao mínimo em (4,-80/3) e depois sobe para a direita.
– concavidade para baixo até x=1 e para cima a partir de x=1.

Resposta

a) f é crescente em (-infty,-2)cup(4,infty) e decrescente em (-2,4).
b) f é côncava para baixo em (-infty,1) e côncava para cima em (1,infty).
c) Máximo relativo em x=-2, mínimo relativo em x=4 e ponto de inflexão em x=1.
d) Gráfico de um cúbico que sobe em (-infty,-2), desce até x=4 e sobe em (4,infty), com inflexão em x=1.

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