\hline 13- & \begin{tabular}{l}
Dada a derivada
de uma certa função
: \
a) Determine os intervalos em que
é crescente e decrescente. \
b) Determine os intervalos em que a concavidade de
é para cima e para baixo. \
c) Determine as coordenas
dos extremos relativos e ponto de inflexão de
. \
d) Esboce um possível gráfico de
.
Dada a derivada
a) Determine os intervalos em que
b) Determine os intervalos em que a concavidade de
c) Determine as coordenas
d) Esboce um possível gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece a derivada
de uma função
e pede:
– intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– coordenadas dos extremos relativos e do ponto de inflexão;
– esboço do gráfico.
Para isso usaremos o teste de sinal de para monotonicidade, o teste de sinal de
– intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade);
– intervalos de concavidade para cima e para baixo;
– coordenadas
– esboço do gráfico.
Para isso usaremos o teste de sinal de
para concavidade, e o teste da segunda derivada para classificar extremos.
Passo 2
Encontramos as raízes de
resolvendo
Em seguida analisamos o sinal de
:
– para ,
;
;
;
;
crescente;
– para ,
;
;
;
;
decrescente;
– para ,
;
;
;
;
crescente.
– para
– para
– para
Passo 3
Estudamos a concavidade usando
As suas raízes e sinais são:
– em
;
– para ,
;
;concavidade para baixo;
– para ,
;
;concavidade para cima.
–
– para
– para
Passo 4
Coordenadas
dos pontos especiais:
– extremos relativos em , ou seja
e
. Classificação pelo sinal de
:
– extremos relativos em
– ponto de inflexão em
, ou seja em
.
Se precisarmos das ordens
num esboço, podemos integrar
escolhendo
para simplificar e calcular
Passo 5
Esboço de um possível gráfico de
:
– é um polinômio de grau com coeficiente líder positivo, logo cai para a esquerda, alcança máximo em
, desce atravessando o ponto de inflexão em
, chega ao mínimo em
e depois sobe para a direita.
– concavidade para baixo até e para cima a partir de
.
– é um polinômio de grau
– concavidade para baixo até
Resposta
a)
é crescente em
e decrescente em
.
b) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
c) Máximo relativo em , mínimo relativo em
e ponto de inflexão em
.
d) Gráfico de um cúbico que sobe em , desce até
e sobe em
, com inflexão em
.
b)
c) Máximo relativo em
d) Gráfico de um cúbico que sobe em