Sejam A, B, C, D in R e considere o conjunto de ponto (x, y) in R^2 satisfazendo
A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa w=1z preserva círculos generalizados
Mostre que em forma polar w=u+i v é dado por
& u(r, theta)=1r cos (theta), & v(r, theta)=-1r sen(theta)

Passo 1

A ideia aqui é mostrar como a função de inversão em complexos se comporta em coordenadas polares. O conteúdo é representar um número complexo em forma polar e usar a definição de inversão. Vamos usar que qualquer z≠0 pode ser escrito como z=r e^itheta e que 1/z=1/(r e^itheta).

Passo 2

Escrever z em coordenadas polares. Se z=x+iy, definimos o módulo r=|z|=raizx^2+y^2 e o argumento theta=arg(z). Assim temos
[ z = r e^{i\theta} ]

Passo 3

Calcular w=1/z usando a representação polar. Aplicando inversão, obtemos
[ w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} ]

Passo 4

Usar a fórmula de Euler para separar em parte real e imaginária. Sabendo que
[ e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i\sin(\theta) ]
temos
[ w = \frac{1}{r}\bigl(\cos(\theta) - i\sin(\theta)\bigr) ]
Daí identificamos as componentes reais e imaginárias:

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