Sejam
e considere o conjunto de ponto
satisfazendo
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa
preserva círculos generalizados
Mostre que em forma polar
é dado por
Mostre que em forma polar
Passo 1
A ideia aqui é mostrar como a função de inversão em complexos se comporta em coordenadas polares. O conteúdo é representar um número complexo em forma polar e usar a definição de inversão. Vamos usar que qualquer z≠0 pode ser escrito como
e que
.
Passo 2
Escrever z em coordenadas polares. Se
, definimos o módulo
e o argumento
. Assim temos
[ z = r e^{i\theta} ]
[ z = r e^{i\theta} ]
Passo 3
Calcular w=1/z usando a representação polar. Aplicando inversão, obtemos
[ w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} ]
[ w = \frac{1}{z} = \frac{1}{r e^{i\theta}} = \frac{1}{r} e^{-i\theta} ]
Passo 4
Usar a fórmula de Euler para separar em parte real e imaginária. Sabendo que
[ e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i\sin(\theta) ]
temos
[ w = \frac{1}{r}\bigl(\cos(\theta) - i\sin(\theta)\bigr) ]
Daí identificamos as componentes reais e imaginárias:
[ e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i\sin(\theta) ]
temos
[ w = \frac{1}{r}\bigl(\cos(\theta) - i\sin(\theta)\bigr) ]
Daí identificamos as componentes reais e imaginárias: