Calcule a integral tripla de 12 y d V sendo W a região abaixo de 6 x+4 y+3 z=12 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de 12y sobre a região W definida como "abaixo de 6x+4y+3z=12" no primeiro octante. Ou seja:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=12y.
  • A superfície superior que limita W é o plano \;6x+4y+3z=12\;.
  • “Primeiro octante” significa x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle \iiint_{W} 12y\,dV?

Passo 2

Vamos entender a forma da região W. Interseções do plano com os eixos (tomando y=z=0, etc.):
  • Para y=0,\;z=0: 6x=12 então x=2.
  • Para x=0,\;z=0: 4y=12 então y=3.
  • Para x=0,\;y=0: 3z=12 então z=4.
    No primeiro octante, W é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano dado. A projeção de W no plano xy é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,3), pois em z=0 a condição do plano dá 6x+4y\le 12.

Passo 3

Escolhemos integrar primeiro em z (porque a superfície fornece z explicitamente), depois em y e por fim em x. A expressão do plano isolando z é
z=\frac{12-6x-4y}{3}.
Logo a integral iterada fica
\iiint_{W} 12y\,dV=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{\frac{12-6x}{4}}\int_{z=0}^{\frac{12-6x-4y}{3}} 12y\;dz\;dy\;dx.
Observação: o limite superior para y vem de 6x+4y\le 12, isto é y\le \dfrac{12-6x}{4}=\dfrac{6-3x}{2}.

Passo 4

Integramos primeiro em z. Como 12y é constante em relação a z,
\int_{z=0}^{\frac{12-6x-4y}{3}} 12y\;dz = 12y\cdot\left[\;z\;\right]_{0}^{\frac{12-6x-4y}{3}} = 12y\cdot \frac{12-6x-4y}{3}.
Simplificando o fator \dfrac{12}{3},
12y\cdot \frac{12-6x-4y}{3} = 4y(12-6x-4y).

Passo 5

Expandimos o integrando em y:
4y(12-6x-4y) = 48y -24xy -16y^{2}.
Agora a integral dupla restante é
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{\frac{6-3x}{2}} \bigl(48y -24xy -16y^{2}\bigr)\;dy\;dx.

Passo 6

Integramos em y. Usamos antiderivadas termo a termo:
  • \displaystyle \int 48y\;dy = 24y^{2}.
  • \displaystyle \int -24x y\;dy = -12x y^{2} (pois x é constante aqui).
  • \displaystyle \int -16 y^{2}\;dy = -\frac{16}{3} y^{3}.
    Portanto, após integrar em y,
\int_{0}^{\frac{6-3x}{2}} \bigl(48y -24xy -16y^{2}\bigr)dy = \left[\,24y^{2} -12x y^{2} -\frac{16}{3}y^{3}\,\right]_{0}^{\frac{6-3x}{2}}.

Passo 7

Definimos y_{1}=\dfrac{6-3x}{2}. Calculamos y_{1}^{2} e y_{1}^{3}:
y_{1}^{2}=\frac{(6-3x)^{2}}{4}=\frac{9(2-x)^{2}}{4}, \qquad y_{1}^{3}=\frac{(6-3x)^{3}}{8}=\frac{27(2-x)^{3}}{8}.
Substituindo na expressão:
24y_{1}^{2} = 24\cdot\frac{9(2-x)^{2}}{4} = 54(2-x)^{2},
-12x y_{1}^{2} = -12x\cdot\frac{9(2-x)^{2}}{4} = -27x(2-x)^{2},
-\frac{16}{3}y_{1}^{3} = -\frac{16}{3}\cdot\frac{27(2-x)^{3}}{8} = -18(2-x)^{3}.
Somando esses três termos:
54(2-x)^{2} -27x(2-x)^{2} -18(2-x)^{3}.
Fatorando (2-x)^{2}:
(2-x)^{2}\bigl(54 -27x -18(2-x)\bigr).
Dentro do parêntese:
54 -27x -36 +18x = 18 -9x = 9(2-x).
Assim a expressão total simplifica lindamente para
9(2-x)^{2}(2-x)=9(2-x)^{3}.

Passo 8

Agora a integral em x é simples:
\int_{0}^{2} 9(2-x)^{3}\;dx.
Fazemos a substituição u=2-x, du=-dx. Quando x=0 temos u=2, quando x=2 temos u=0. Então
\int_{0}^{2} 9(2-x)^{3}\;dx = 9\int_{2}^{0} u^{3}(-du) = 9\int_{0}^{2} u^{3}\;du.
Calculamos a antiderivada:
9\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = 9\cdot\frac{2^{4}}{4} = 9\cdot\frac{16}{4} = 9\cdot 4 = 36.

Resposta

36

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