Calcule a integral tripla de
sendo
a região abaixo de
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
definida como "abaixo de
" no primeiro octante. Ou seja:
- A função a integrar é
. - A superfície superior que limita
é o plano . - “Primeiro octante” significa
.
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Vamos entender a forma da região
. Interseções do plano com os eixos (tomando
, etc.):
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
No primeiro octante,é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano dado. A projeção de no plano é o triângulo com vértices , pois em a condição do plano dá .
Passo 3
Escolhemos integrar primeiro em
(porque a superfície fornece
explicitamente), depois em
e por fim em
. A expressão do plano isolando
é
Logo a integral iterada fica
Observação: o limite superior para
vem de
, isto é
.
Passo 4
Integramos primeiro em
. Como
é constante em relação a
,
Simplificando o fator
,
Passo 5
Expandimos o integrando em
:
Agora a integral dupla restante é
Passo 6
Integramos em
. Usamos antiderivadas termo a termo:
-
. -
(pois é constante aqui). -
.
Portanto, após integrar em,
Passo 7
Definimos
. Calculamos
e
:
Substituindo na expressão:
Somando esses três termos:
Fatorando
:
Dentro do parêntese:
Assim a expressão total simplifica lindamente para
Passo 8
Agora a integral em
é simples:
Fazemos a substituição
,
. Quando
temos
, quando
temos
. Então
Calculamos a antiderivada:
Resposta
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