Rosane possui um título no valor de $900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no valor de \700,00 , vencendo para daqui a 90 dias. Necessitando de dinheiro, Rosane desconta os dois títulos em uma financeira, tendo a operação sido efetuada sob o critério de desconto racional simples, taxa deíçãé3,5 %$ a.m. e data focal zero. Calcule o valor recebido pela mesma.
R: $ 1.474,60

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Títulos: primeiro com valor nominal \,900,00 e vencimento em \,60 dias; segundo com valor nominal \,700,00 e vencimento em \,90 dias.
  • Operação: desconto racional simples (ou desconto por valor presente) com taxa \,3,5\% a.m.
  • Data focal: zero (ou seja, queremos o valor presente hoje).
  • Pergunta: calcular o valor recebido por Rosane ao descontar os dois títulos (ou seja, somar os valores presentes dos dois títulos).

Passo 2

Conceito e fórmula do desconto racional simples (valor presente):
  • No desconto racional simples, o banco calcula quanto vale hoje um título futuro retirando o juro que incidiria até o vencimento; matematicamente o valor presente PV de um título de valor nominal N é dado por:
PV=\frac{N}{1+i\cdot t}
onde:
  • N é o valor nominal do título (ex.: \,900,00);
  • i é a taxa de desconto por unidade de tempo (aqui \,3,5\%\,\text{a.m.} = 0,035 por mês);
  • t é o tempo até o vencimento na mesma unidade de tempo da taxa (aqui em meses).
    Explicação das variáveis: a fórmula divide o valor futuro pelo fator (1+i\cdot t) para “trazer” o valor à data zero, sem acrescentar nada além do desconto proporcional ao tempo (juros simples).

Passo 3

Converter os dias para meses (porque a taxa é mensal):
  • Adotamos o padrão usual de mercado de \,30 dias por mês.
  • Assim:
    • para \,60 dias: t_1=\dfrac{60}{30}=2 meses;
    • para \,90 dias: t_2=\dfrac{90}{30}=3 meses.
      A taxa mensal é \,i=0,035.

Passo 4

Calcular o valor presente do título de \,900,00 com vencimento em \,60 dias ( t_1=2):
PV_1=\frac{900}{1+0,035\cdot 2}=\frac{900}{1+0,07}=\frac{900}{1,07}.
Para calcular \dfrac{900}{1,07} sem pular etapas, multiplicamos numerador e denominador por 100:
\frac{900}{1,07}=\frac{90000}{107}.
Fazendo a divisão inteira 90000\div107 obtemos aproximadamente 841{,}121495\ldots. Arredondando para centavos (duas casas decimais), PV_1=841{,}12. (Regra de arredondamento: se a terceira casa decimal \ge 5 sobe a segunda.)

Passo 5

Calcular o valor presente do título de \,700,00 com vencimento em \,90 dias ( t_2=3):
PV_2=\frac{700}{1+0,035\cdot 3}=\frac{700}{1+0,105}=\frac{700}{1,105}.
Multiplicando numerador e denominador por 1000:
\frac{700}{1,105}=\frac{700000}{1105}.
Fazendo a divisão 700000\div1105 obtemos aproximadamente 633{,}476651\ldots. Arredondando para centavos, PV_2=633{,}48.

Passo 6

Somar os valores presentes para obter o total recebido:
PV_{\text{total}}=PV_1+PV_2=841{,}12+633{,}48=1\,474{,}60.
Portanto Rosane recebe hoje \,1.474,60.

Resposta

\text{R\$ }1.474,60

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