Tenho uma dívida no valor de \ 3.000,00 para pagamento daqui a três meses. No entanto, quero quitá-la hoje. Considerando o critério de desconto racional simples, taxa deêáé2,5 %$ a.m. e data focal zero, quanto deverei desembolsar para liquidar a dívida?
R: $ 2.790,70

Passo 1

O enunciado pede que eu descubra quanto devo pagar hoje para quitar uma dívida de \$ 3.000,00 que vence daqui a três meses, usando o critério de desconto racional simples, com taxa de 2,5\% ao mês e data focal igual a zero (ou seja, hoje).
Informações dadas:
  • Valor a vencer (valor futuro): \$ 3.000,00.
  • Prazo: n = 3 meses.
  • Taxa de desconto (simples): i = 2,5\% ao mês, isto é i = 0,025 em forma decimal.
  • Método: desconto racional simples (data focal zero).
    Pergunta explícita: quanto devo desembolsar hoje (valor presente) para liquidar a dívida?

Passo 2

O que é desconto racional simples e qual fórmula usar (explicação didática)?
No regime de juros simples, se eu aplico hoje uma quantia P (presente) a uma taxa i por n períodos, o valor futuro F obtido é dado pela fórmula dos juros simples:
F = P\,(1 + i\,n).
O desconto racional simples (também chamado de desconto por valor presente) parte exatamente dessa relação: dado o valor futuro F, quero encontrar o P que, aplicado na mesma taxa e por n períodos, cresce até F. Basta resolver a fórmula acima para P. Assim, isolando P:
P = \frac{F}{1 + i\,n}.
Aqui:
  • P é o valor que devo pagar hoje (valor presente);
  • F é a dívida que vence no futuro (valor futuro);
  • i é a taxa por período (em forma decimal);
  • n é o número de períodos até a data de vencimento.

Passo 3

Substituo os dados na fórmula do desconto racional simples. Usando F=\$ 3.000,00, i=0,025 e n=3:
P = \frac{3\,000}{1 + 0,025\cdot 3}.
Calculo primeiro o produto 0,025\cdot 3:
0,025\cdot 3 = 0,075.
Portanto o denominador fica 1 + 0,075 = 1,075. Logo
P = \frac{3\,000}{1,075}.

Passo 4

Para facilitar a divisão, escrevo 1,075 como fração irreduzível:
1,075 = \frac{1075}{1000} = \frac{43}{40}.
Então
P = \frac{3\,000}{\tfrac{43}{40}} = 3\,000\cdot\frac{40}{43} = \frac{120\,000}{43}.
Faço a divisão inteira para ver a parte inteira e o resto:
43\cdot 2\,790 = 119\,970,
logo
\frac{120\,000}{43} = 2\,790 + \frac{30}{43}.
Agora calculo a parte fracionária \dfrac{30}{43}. Podemos obter a aproximação decimal:
\frac{30}{43} \approx 0,697674\ldots
Portanto
P \approx 2\,790,697674\ldots

Passo 5

Arredondamento para centavos (duas casas decimais): a parte decimal é aproximadamente 0,697674\ldots. Ao arredondar para centavos, olhamos a terceira casa decimal (milésimos): é 7, portanto arredonda-se a segunda casa decimal para cima. Assim:
P \approx 2\,790,70.
Interpretação final: pagando \$2.790,70 hoje, esse montante aplicado a 2,5\% a.m. por 3 meses no regime de juros simples se transforma exatamente (ou, seguindo o conceito, é equivalente) ao compromisso de \$ 3.000,00 daqui a três meses, o que corresponde ao desconto racional simples.

Resposta

\$ 2.790,70

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