Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos x+z=3 e y+z=7.
\iint_{E} \int y \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V

Passo 1

O enunciado pede avaliar
\iiint_{E} y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV
no sólido E determinado por
x^{2}+y^{2}\le1,\quad z=3-x\quad\text{(plano inferior)},\quad z=7-y\quad\text{(plano superior)}.
O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas e integração iterada.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
O integrando fica
y\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} = (r\sin\theta)\,(r) = r^{2}\sin\theta,
e com o jacobiano: r^{2}\sin\theta\cdot r = r^{3}\sin\theta.
O domínio em (r,\theta,z) é
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 3 - r\cos\theta \le z \le 7 - r\sin\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=3 - r\cos\theta}^{\,7 - r\sin\theta} r^{3}\sin\theta\;dz = r^{3}\sin\theta\;\bigl[(7 - r\sin\theta)-(3 - r\cos\theta)\bigr] = r^{3}\sin\theta\,(4 - r\sin\theta + r\cos\theta).

Passo 4

Agora a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\sin\theta\,(4 - r\sin\theta + r\cos\theta)\,dr = \sin\theta\Bigl[4\!\int_{0}^{1}r^{3}dr - \sin\theta\!\int_{0}^{1}r^{4}dr + \cos\theta\!\int_{0}^{1}r^{4}dr\Bigr].
Sabendo \int_{0}^{1}r^{3}dr=\tfrac14 e \int_{0}^{1}r^{4}dr=\tfrac15, isso vira
\sin\theta\Bigl[4\cdot\tfrac14 - \sin\theta\cdot\tfrac15 + \cos\theta\cdot\tfrac15\Bigr] = \sin\theta\Bigl[1 - \tfrac{1}{5}\sin\theta + \tfrac{1}{5}\cos\theta\Bigr].

Passo 5

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\Bigl[\sin\theta - \tfrac{1}{5}\sin^{2}\theta + \tfrac{1}{5}\sin\theta\cos\theta\Bigr]d\theta.
Usamos
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0,
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi.
Logo só sobra
-\tfrac{1}{5}\,\pi = -\frac{\pi}{5}.

Resposta

-\frac{\pi}{5}.

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