Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 4 x+6 y+3 z=12.
\iint_{E} \int x^{2} y d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} x^{2}y\,dV
onde E é o tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e
4x+6y+3z=12.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas, usando limites obtidos a partir da equação do plano.

Passo 2

Expressamos z em função de x e y pela equação do plano:
3z = 12 - 4x - 6y \qquad\Longrightarrow\qquad z = 4 - \frac{4}{3}x - 2y.
Como z\ge0, isso impõe
4 - \frac{4}{3}x - 2y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y \le 2 - \frac{2}{3}x.
Assim os limites são
0 \le x \le 3,\quad 0 \le y \le 2 - \frac{2}{3}x,\quad 0 \le z \le 4 - \frac{4}{3}x - 2y.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada em ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{E} x^{2}y\,dV = \int_{x=0}^{3} \int_{y=0}^{2 - \frac{2}{3}x} \int_{z=0}^{4 - \frac{4}{3}x - 2y} x^{2}y \,dz\,dy\,dx.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{4 - \frac{4}{3}x - 2y} x^{2}y\,dz = x^{2}y \Bigl[z\Bigr]_{0}^{4 - \frac{4}{3}x - 2y} = x^{2}y\Bigl(4 - \tfrac{4}{3}x - 2y\Bigr).
Logo sobra
\int_{0}^{3} \int_{0}^{2 - \frac{2}{3}x} x^{2}y\Bigl(4 - \tfrac{4}{3}x - 2y\Bigr) \,dy\,dx.

Passo 4

Desenvolvemos a integral em y:
x^{2}\int_{0}^{2 - \frac{2}{3}x} \bigl(4y - \tfrac{4}{3}x\,y - 2y^{2}\bigr) \,dy.
Calculemos
\int \bigl(4y - \tfrac{4}{3}x\,y - 2y^{2}\bigr) \,dy = 2y^{2} - \tfrac{2}{3}x\,y^{2} - \tfrac{2}{3}y^{3}.
Avaliando de y=0 até y=A, com A=2 - \tfrac{2}{3}x, obtemos
x^{2}\Bigl[A^{2}\bigl(2 - \tfrac{2}{3}x\bigr) - \tfrac{2}{3}A^{3}\Bigr] = \frac{1}{3}\,x^{2}\,A^{3}
pois A=2-\tfrac{2}{3}x faz A^{2}(2-\tfrac{2}{3}x)=A^{3} e 1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Agora a integral em x fica
\int_{0}^{3}\frac{1}{3}\,x^{2} \Bigl(2 - \tfrac{2}{3}x\Bigr)^{3} \,dx.
Fazendo a substituição t=\tfrac{x}{3} leva a um Beta, mas podemos usar diretamente
\int_{0}^{3}x^{2}\Bigl(2-\tfrac{2}{3}x\Bigr)^{3}dx =72\int_{0}^{1}t^{2}(1-t)^{3}dt =72\cdot\frac{2!\,3!}{6!} =72\cdot\frac{1}{60} =\frac{6}{5}\cdot 3
e dividindo pelo 3 externo dá
\frac{6}{5}.

Resposta

\iiint_{E} x^{2}y\,dV = \frac{6}{5}.

Exercícios relacionados