Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o tetraedro sólido delimitado pelos planos
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos
,
,
e
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cartesianas, usando limites obtidos a partir da equação do plano.
Passo 2
Expressamos
em função de
e
pela equação do plano:
Como
, isso impõe
Assim os limites são
Passo 3
Escrevemos a integral iterada em ordem
:
Integramos primeiro em
:
Logo sobra
Passo 4
Desenvolvemos a integral em
:
Calculemos
Avaliando de
até
, com
, obtemos
pois
faz
e
.
Passo 5
Agora a integral em
fica
Fazendo a substituição
leva a um Beta, mas podemos usar diretamente
e dividindo pelo
externo dá