Calcule a integral tripla abaixo, onde 
  é o sólido delimitado pelo plano 
  e pela semiesfera 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de 
  sobre o sólido 
 , que é limitado pelo plano 
  e pela semiesfera 
 . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido 
 . Ele está abaixo da semiesfera 
  e acima do plano 
 . Essa semiesfera tem raio 2, já que 
 . Como a equação envolve 
 , fica natural pensar em coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em volumes circulares.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são 
 , onde:
- 
é a distância do ponto à origem no plano ,  - 
é o ângulo em relação ao eixo ,  - 
é a altura.  
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume 
  em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
- Para 
, como a semiesfera tem raio 2, varia de 0 a 2.  - Para 
, como estamos cobrindo toda a circunferência, varia de 0 a .  - Para 
, para cada , varia do plano até a semiesfera .  
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla na forma de coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em 
 , depois em 
  e por último em 
 .
Integrando em 
 :
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em 
 :
Passo 8
Por fim, integramos em 
 :
Resposta
A integral tripla vale 
 .