Resolva a integral dupla abaixo, onde 
  é a parte do conjunto 
  que está no primeiro quadrante:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 
  sobre a região 
 , que é a parte do círculo 
  que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região 
 . O conjunto 
  representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Como queremos apenas a parte que está no primeiro quadrante, estamos olhando para um quarto desse círculo, onde 
  e 
 .
Passo 3
Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, 
  e 
 , e o elemento de área 
  vira 
 . Além disso, os limites para 
  vão de 0 a 2 (raio do círculo) e para 
  vão de 0 a 
  (primeiro quadrante).
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a 
 :
Passo 6
Agora, integramos com relação a 
 :
Resposta
O valor da integral dupla é 
 .