Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos 
  e 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral tripla de 
  sobre o tetraedro 
 , que é delimitado pelos planos 
 , 
 , 
  e 
 . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração tripla, pra achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região 
  onde vamos integrar. O tetraedro é formado pelos planos dados, então vamos encontrar os limites de integração para 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Vamos resolver a equação do plano 
  para 
 :
Isso nos dá o limite superior para 
 . Como 
  está entre 
  e 
 , temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para 
 . Observando a equação do plano, para 
 :
Então, 
  varia de 
  a 
 :
Passo 5
Por último, determinamos os limites para 
 . Quando 
  e 
 :
Então, 
  varia de 
  a 
 :
Passo 6
Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla:
Passo 7
Vamos resolver a integral com relação a 
  primeiro:
Passo 8
Agora, integramos com relação a 
 :
Fazendo a substituição 
 , 
 , os limites ficam de 
  a 
 :
Passo 9
Por fim, integramos com relação a 
 :
Resolvendo essa última integral:
Resposta
A integral tripla vale 
 .