Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 \quad e \quad 6 x+2 y+3 z=6.
\iint_{E} \int 336 z^{5} d V

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E}336\,z^{5}\,dV
onde E é o tetraedro sólido definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad 6x+2y+3z\le6.
O conteúdo envolve usar o método de fatias (Cavalieri) para integrar polinômios em 3D.

Passo 2

Para cada z fixo, a projeção de E no plano xy é o triângulo
6x+2y\le6-3z,\quad x\ge0,\\ y\ge0.
Os interceptos são
x=\frac{6-3z}{6},\quad y=\frac{6-3z}{2},
portanto é um triângulo com base \tfrac{6-3z}{6} e altura \tfrac{6-3z}{2}.

Passo 3

A área dessa seção transversal em função de z é
A(z) =\frac12\cdot\frac{6-3z}{6}\cdot\frac{6-3z}{2} =\frac{(6-3z)^2}{24} =\frac{3(2-z)^2}{8}.

Passo 4

Assim a integral tripla vira um integral simples em z:
\iiint_{E}336\,z^{5}\,dV =\int_{0}^{2}336\,z^{5}\,A(z)\,dz =\int_{0}^{2}336\,z^{5}\cdot\frac{3(2-z)^2}{8}\,dz =126\int_{0}^{2}z^{5}(2-z)^2\,dz.

Passo 5

Expandindo e integrando:
\int_{0}^{2}z^{5}(2-z)^2\,dz =\int_{0}^{2}(z^7-4z^6+4z^5)\,dz =\Bigl[\tfrac{z^8}{8}-\tfrac{4z^7}{7}+\tfrac{4z^6}{6}\Bigr]_0^2 =\frac{32}{21}.
Portanto
126\cdot\frac{32}{21}=192.

Resposta

192

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