Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.
Passo 1
O enunciado nos pede o cálculo da integral tripla
onde
é o tetraedro sólido definido por
O conteúdo envolve usar o método de fatias (Cavalieri) para integrar polinômios em 3D.
Passo 2
Para cada
fixo, a projeção de
no plano
é o triângulo
Os interceptos são
portanto é um triângulo com base
e altura
.
Passo 3
A área dessa seção transversal em função de
é
Passo 4
Assim a integral tripla vira um integral simples em
:
Passo 5
Expandindo e integrando:
Portanto