Calcule a integral tripla de f(x, y, z)=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+5} sobre a região onde z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} está dentro do cone.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral tripla da função f(x,y,z)=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}+5} sobre a região que está “dentro do cone” definido pela superfície z^{2}=4x^{2}+4y^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície z^{2}=4x^{2}+4y^{2} é um cone duplo com eixo no eixo z.
  • “Dentro do cone” será interpretado como o sólido formado pelos pontos (x,y,z) tais que z^{2}\le 4x^{2}+4y^{2}.
  • A função integranda depende apenas de x e y, via x^{2}+y^{2}.
  • Não há outras restrições explícitas (como planos que cortem o cone), portanto o sólido considerado é aquele definido apenas pela desigualdade acima, que se estende indefinidamente em r (na direção radial).
O que é pedido:
  • Calcular (ou analisar a convergência de) a integral tripla \iiint_{V}\frac{2}{x^{2}+y^{2}+5}\,dV,onde V=\{(x,y,z): z^{2}\le 4(x^{2}+y^{2})\}.

Passo 2

Escolha de coordenadas e razão: como a integranda e a região têm simetria circular em torno do eixo z, usa-se coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}.
Explicação do Jacobiano (o porquê do fator r no elemento de volume): em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Isto vem da transformação de variáveis e do fato de que um pequeno elemento de área no plano xy corresponde a r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Expressar a região V em coordenadas cilíndricas. A equação do cone fica
z^{2}=4x^{2}+4y^{2}=4r^{2},
portanto a condição z^{2}\le 4r^{2} é equivalente a
-2r \le z \le 2r.
Assim os limites da região em coordenadas cilíndricas são:
\theta\in[0,2\pi],\qquad r\in[0,+\infty),\qquad z\in[-2r,\,2r].

Passo 4

Montar a integral em coordenadas cilíndricas. A integranda depende só de r via x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
\frac{2}{x^{2}+y^{2}+5}=\frac{2}{r^{2}+5}.
O elemento de volume é r\,dr\,d\theta\,dz. Portanto a integral tripla é
I=\iiint_{V}\frac{2}{x^{2}+y^{2}+5}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{-2r}^{2r}\frac{2}{r^{2}+5}\, r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z (essa é a etapa mais direta). Para cada r o comprimento do intervalo em z é 2r-(-2r)=4r. Assim a integral em z dá um fator 4r:
\int_{-2r}^{2r}\frac{2}{r^{2}+5}\, r\,dz = \frac{2r}{r^{2}+5}\cdot (4r) = \frac{8r^{2}}{r^{2}+5}.
Logo a integral reduz-se a uma integral em r e \theta:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{8r^{2}}{r^{2}+5}\,dr\,d\theta.
Integrando em \theta (fator 2\pi):
I=2\pi\int_{0}^{\infty}\frac{8r^{2}}{r^{2}+5}\,dr =16\pi\int_{0}^{\infty}\frac{r^{2}}{r^{2}+5}\,dr.

Passo 6

Estudar a convergência da integral radial
\int_{0}^{\infty}\frac{r^{2}}{r^{2}+5}\,dr.
Para analisar, decompõe-se o integrando em uma parte simples mais fácil:
\frac{r^{2}}{r^{2}+5}=1-\frac{5}{r^{2}+5}.
Logo, para R>0,
\int_{0}^{R}\frac{r^{2}}{r^{2}+5}\,dr =\int_{0}^{R}1\,dr - 5\int_{0}^{R}\frac{1}{r^{2}+5}\,dr.
Calcula-se explicitamente:
\int_{0}^{R}1\,dr = R, \qquad \int_{0}^{R}\frac{1}{r^{2}+5}\,dr = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{5}}\bigg).
Portanto
\int_{0}^{R}\frac{r^{2}}{r^{2}+5}\,dr = R - \frac{5}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{5}}\bigg) = R - \sqrt{5}\,\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{5}}\bigg).

Passo 7

Verificar o comportamento quando R\to\infty. Sabe-se que \arctan(t) tende a \tfrac{\pi}{2} quando t\to\infty, portanto
\lim_{R\to\infty}\bigg(R - \sqrt{5}\,\arctan\!\bigg(\frac{R}{\sqrt{5}}\bigg)\bigg) = \lim_{R\to\infty} R - \sqrt{5}\cdot\frac{\pi}{2} = +\infty.
Ou seja, a integral radial diverge (cresce como R quando R\to\infty). Consequentemente a integral total I=16\pi vezes essa integral radial também diverge para +\infty.

Passo 8

Conclusão final e interpretação rápida: apesar da integranda diminuír com r (comportamento ~ 1/r^{2} para grandes r), o volume do sólido cresce de tal forma (o comprimento em z cresce proporcionalmente a r) que a contribuição total em grandes raios não decai suficientemente rápido; o termo dominante da integral radial é equivalente a \int R\,dR que diverge. Portanto a integral tripla não converge.

Resposta

A integral diverge (o valor é +\infty).

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