Calcule a integral tripla de
sobre a região onde
está dentro do cone.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral tripla da função
sobre a região que está “dentro do cone” definido pela superfície
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície
é um cone duplo com eixo no eixo . - “Dentro do cone” será interpretado como o sólido formado pelos pontos
tais que - A função integranda depende apenas de
e , via . - Não há outras restrições explícitas (como planos que cortem o cone), portanto o sólido considerado é aquele definido apenas pela desigualdade acima, que se estende indefinidamente em
(na direção radial).
O que é pedido:
- Calcular (ou analisar a convergência de) a integral tripla
onde .
Passo 2
Escolha de coordenadas e razão: como a integranda e a região têm simetria circular em torno do eixo
, usa-se coordenadas cilíndricas
, definidas por
onde
,
e
.
Explicação do Jacobiano (o porquê do fator
no elemento de volume): em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
Isto vem da transformação de variáveis e do fato de que um pequeno elemento de área no plano
corresponde a
.
Passo 3
Expressar a região
em coordenadas cilíndricas. A equação do cone fica
portanto a condição
é equivalente a
Assim os limites da região em coordenadas cilíndricas são:
Passo 4
Montar a integral em coordenadas cilíndricas. A integranda depende só de
via
, então
O elemento de volume é
. Portanto a integral tripla é
Passo 5
Integrar primeiro em
(essa é a etapa mais direta). Para cada
o comprimento do intervalo em
é
. Assim a integral em
dá um fator
:
Logo a integral reduz-se a uma integral em
e
:
Integrando em
(fator
):
Passo 6
Estudar a convergência da integral radial
Para analisar, decompõe-se o integrando em uma parte simples mais fácil:
Logo, para
,
Calcula-se explicitamente:
Portanto
Passo 7
Verificar o comportamento quando
. Sabe-se que
tende a
quando
, portanto
Ou seja, a integral radial diverge (cresce como
quando
). Consequentemente a integral total
vezes essa integral radial também diverge para
.
Passo 8
Conclusão final e interpretação rápida: apesar da integranda diminuír com
(comportamento ~
para grandes
), o volume do sólido cresce de tal forma (o comprimento em
cresce proporcionalmente a
) que a contribuição total em grandes raios não decai suficientemente rápido; o termo dominante da integral radial é equivalente a
que diverge. Portanto a integral tripla não converge.
Resposta
A integral diverge (o valor é
).