Calcule a integral tripla de
sobre o tetraedro formado pelos pontos
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre o tetraedro cujos vértices são
,
,
e
.
Informações dadas:
- Os quatro vértices do sólido são os pontos citados.
- A função a integrar é
. - O domínio é o tetraedro limitado pelos planos que passam por esses vértices e pelos planos coordenados.
O que precisamos devolver:
- O valor numérico da integral
onde
é o tetraedro definido pelos vértices informados.
Passo 2
Descrever geometricamente o tetraedro e obter a equação do plano que contém os três pontos
,
e
.
Qualquer plano pode ser escrito como
. Como os três pontos pertencem ao plano, substitui-se cada um:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Isto mostra que
. Tomando
(multiplicador conveniente), obtemos
. Pela primeira equação
, logo
. Portanto o plano é
O tetraedro
é o conjunto de pontos com coordenadas não-negativas que satisfazem
Passo 3
Escolher uma ordem de integração e escrever a integral iterada. Uma escolha natural é primeiro integrar em
(pois o teto é dado explicitamente por
), depois em
e por fim em
. Assim os limites são:
-
vai de até . - Para cada
fixo, vai de até (porque e quando ). - Para cada
fixos, vai de até .
Logo a integral fica
Breve explicação didática: por Fubini, quando o domínio é deste tipo (um sólido “simples” em relação à ordem escolhida), a integral tripla pode ser escrita como integral iterada com esses limites. Aqui o teto em
é linear e simples:
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Aqui
é constante em relação a
, então
Explicação: integrar uma função constante
em
sobre
dá
. Aqui
e
.
Passo 5
Agora integrar em
:
Calcule a integral do polinômio em
:
Avalia em
:
Portanto a integral sobre
é
Comentário didático: essa simplificação é útil porque reduz a integral tripla para uma única integral em
com um polinômio simples.
Passo 6
Fica então a integral em
:
Expandir
para integrar com facilidade:
então
Integramos termo a termo:
Agora avaliar em
:
Calcule cada termo:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
portanto a soma é
Passo 7
Interpretação final: a integral tripla calculada vale
. Esse é o valor numérico do momento
sobre o tetraedro dado. Técnica resumida: descrever a região por desigualdades lineares, escrever integral iterada, integrar em ordem conveniente (aqui
, depois
, depois
), e calcular termo a termo.