Calcule a integral tripla de x^{2} d V sobre o tetraedro formado pelos pontos (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de x^{2} sobre o tetraedro cujos vértices são (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2).
Informações dadas:
  • Os quatro vértices do sólido são os pontos citados.
  • A função a integrar é f(x,y,z)=x^{2}.
  • O domínio é o tetraedro limitado pelos planos que passam por esses vértices e pelos planos coordenados.
O que precisamos devolver:
  • O valor numérico da integral
\iiint_{T} x^{2}\,dV,
onde T é o tetraedro definido pelos vértices informados.

Passo 2

Descrever geometricamente o tetraedro e obter a equação do plano que contém os três pontos (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2).
Qualquer plano pode ser escrito como ax+by+cz=d. Como os três pontos pertencem ao plano, substitui-se cada um:
  • Para (2,0,0): 2a = d.
  • Para (0,2,0): 2b = d.
  • Para (0,0,2): 2c = d.
Isto mostra que a=b=c. Tomando a=b=c=1 (multiplicador conveniente), obtemos x+y+z=d. Pela primeira equação 2\cdot1 = d, logo d=2. Portanto o plano é
x+y+z=2.
O tetraedro T é o conjunto de pontos com coordenadas não-negativas que satisfazem
x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad x+y+z\le 2.

Passo 3

Escolher uma ordem de integração e escrever a integral iterada. Uma escolha natural é primeiro integrar em z (pois o teto é dado explicitamente por z=2-x-y), depois em y e por fim em x. Assim os limites são:
  • x vai de 0 até 2.
  • Para cada x fixo, y vai de 0 até 2-x (porque y\ge0 e y\le 2-x quando z=0).
  • Para cada x,y fixos, z vai de 0 até 2-x-y.
Logo a integral fica
\iiint_{T} x^{2}\,dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x}\int_{z=0}^{2-x-y} x^{2}\,dz\,dy\,dx.
Breve explicação didática: por Fubini, quando o domínio é deste tipo (um sólido “simples” em relação à ordem escolhida), a integral tripla pode ser escrita como integral iterada com esses limites. Aqui o teto em z é linear e simples: z=2-x-y.

Passo 4

Calcular a integral interna em z. Aqui x^{2} é constante em relação a z, então
\int_{z=0}^{2-x-y} x^{2}\,dz = x^{2}\left[z\right]_{0}^{2-x-y} = x^{2}(2-x-y).
Explicação: integrar uma função constante C em z sobre [0,h] C\cdot h. Aqui C=x^{2} e h=2-x-y.

Passo 5

Agora integrar em y:
\int_{y=0}^{2-x} x^{2}(2-x-y)\,dy = x^{2}\int_{0}^{2-x} (2-x-y)\,dy.
Calcule a integral do polinômio em y:
\int_{0}^{2-x} (2-x-y)\,dy = \left[(2-x)y - \tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2-x}.
Avalia em y=2-x:
(2-x)(2-x) - \tfrac{1}{2}(2-x)^{2} = (2-x)^{2} - \tfrac{1}{2}(2-x)^{2} = \tfrac{1}{2}(2-x)^{2}.
Portanto a integral sobre y é
x^{2}\cdot \tfrac{1}{2}(2-x)^{2} = \tfrac{1}{2} x^{2}(2-x)^{2}.
Comentário didático: essa simplificação é útil porque reduz a integral tripla para uma única integral em x com um polinômio simples.

Passo 6

Fica então a integral em x:
\int_{0}^{2} \tfrac{1}{2} x^{2}(2-x)^{2}\,dx.
Expandir (2-x)^{2} para integrar com facilidade:
(2-x)^{2} = 4 - 4x + x^{2},
então
\tfrac{1}{2} x^{2}(2-x)^{2} = \tfrac{1}{2} x^{2}(4 - 4x + x^{2}) = 2x^{2} - 2x^{3} + \tfrac{1}{2}x^{4}.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} \left(2x^{2} - 2x^{3} + \tfrac{1}{2}x^{4}\right)\,dx = \left[\tfrac{2}{3}x^{3} - \tfrac{1}{2}x^{4} + \tfrac{1}{10}x^{5}\right]_{0}^{2}.
Agora avaliar em x=2:
\tfrac{2}{3}\cdot 2^{3} - \tfrac{1}{2}\cdot 2^{4} + \tfrac{1}{10}\cdot 2^{5}.
Calcule cada termo:
\tfrac{2}{3}\cdot 8 = \tfrac{16}{3},\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot 16 = -8,\qquad \tfrac{1}{10}\cdot 32 = \tfrac{16}{5}.
Somando:
\tfrac{16}{3} - 8 + \tfrac{16}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
\tfrac{16}{3} = \tfrac{80}{15},\quad -8 = -\tfrac{120}{15},\quad \tfrac{16}{5} = \tfrac{48}{15},
portanto a soma é
\tfrac{80-120+48}{15} = \tfrac{8}{15}.

Passo 7

Interpretação final: a integral tripla calculada vale \tfrac{8}{15}. Esse é o valor numérico do momento \iiint_{T} x^{2}\,dV sobre o tetraedro dado. Técnica resumida: descrever a região por desigualdades lineares, escrever integral iterada, integrar em ordem conveniente (aqui z, depois y, depois x), e calcular termo a termo.

Resposta

\dfrac{8}{15}

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