Exercício 10. Pesquise por que não se pode encontrar o corte correspondente ao número real \pi usando um polinômio com coeficientes racionais, como foi feito para o caso do \sqrt{2}. Depois, usando resultados de Integrais e Séries, mostre que o corte que corresponde ao número real \pi pode ser construído como:
\pi=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} r_{i}^{*}
Nesta união acima, \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots, \ldots\} (naturais iniciando em 1) e os cortes r_{i}^{*} são provenientes dos números racionais r_{i} dados por :
r_{1}=4-4 / 3 ; \quad r_{2}=r_{1}+4 / 5-4 / 7 ; \quad r_{3}=r_{2}+4 / 9-4 / 11 ; \quad \ldots \quad \ldots

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais e fornece os seguintes dados:
  • Primeiro pedaço pedido: explicar por que NÃO se pode obter o corte de \pi da mesma forma que se obtém o corte de \sqrt{2} — isto é, por que não existe um polinômio não-nulo com coeficientes racionais que tenha \pi como raiz.
  • Segundo pedaço pedido: mostrar, usando resultados de integrais e séries, que o corte que corresponde ao número real \pi pode ser construído como
\pi=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} r_{i}^{*},
onde \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} e os racionais r_i são dados por
r_{1}=4-\frac{4}{3},\quad r_{2}=r_{1}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7},\quad r_{3}=r_{2}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11},\\ \ldots
  • Informação implícita útil: cada corte r_i^{*} é o conjunto dos racionais menores que r_i, isto é
r_i^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r_i\}.
A partir daqui, vamos explicar por que \pi não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais e, em seguida, usar séries e integração para mostrar que a sequência (r_i) converge para \pi e que a união dos cortes r_i^{*} é o corte de \pi.

Passo 2

Por que não podemos obter \pi como raiz de um polinômio com coeficientes racionais?
  • Primeiro precisamos distinguir dois tipos de números reais:
    • Um número é chamado de número algébrico se ele é raiz de algum polinômio não-nulo com coeficientes racionais (ou inteiros).
    • Um número que não é algébrico é chamado de número transcendental.
  • Exemplo: \sqrt{2} é algébrico porque é raiz do polinômio x^{2}-2 (coeficientes racionais).
  • Teorema chave (Lindemann, 1882 — frequentemente apresentado como parte do teorema de Lindemann–Weierstrass):
    \text{Se }\alpha\text{ é um número algébrico não nulo, então }e^{\alpha}\text{ é transcendental.}éúéããé
    Em palavras: a exponenciação de um número algébrico não nulo por e dá um número transcendental.
  • Aplicação ao \pi: suponha, por contradição, que \pi fosse algébrico. Então i\pi (onde i é a unidade imaginária) também seria algébrico e não nulo. Pelo teorema, e^{i\pi} seria transcendental. Mas e^{i\pi}=-1, e -1 é um número algébrico (é raiz de x+1). Isso é uma contradição. Logo \pi não pode ser algébrico; \pi é transcendental.
  • Conclusão pratica: não existe polinômio não-nulo com coeficientes racionais que tenha \pi como raiz. Assim, ao contrário de \sqrt{2}, não podemos "construir o corte de \pi" simplesmente pegando as raízes racionais de um polinômio de coeficientes racionais.

Passo 3

Vamos agora construir \pi via séries e integrais. A série que aparece no enunciado é a série de Leibniz para \pi/4. Vou derivá-la de forma direta e didática usando integração de uma série geométrica.
  • Começamos da identidade da série geométrica (válida para |x|<1):
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k}.
Esta é a série geométrica com razão -x^{2}. Para |x|<1 a soma é igual ao lado esquerdo.
  • Integramos termo a termo no intervalo [0,t] com 0\le t<1. Justificação intuitiva: para |x|\le t<1 a série converge uniformemente, então pode-se integrar termo a termo. A integral de 1/(1+x^{2}) é \arctan x. Assim:
\arctan t = \int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{t}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{2k}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{0}^{t}x^{2k}\,dx.
  • Calculando as integrais:
\int_{0}^{t}x^{2k}\,dx = \frac{t^{2k+1}}{2k+1},
logo
\arctan t = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{t^{2k+1}}{2k+1},\qquad |t|<1.
  • Agora tomamos o limite t\to 1^{-}. Pelo teorema de Abel (ou pelo teste das séries alternadas, que garante convergência condicional para t=1 neste caso), a série converge para \arctan(1). Como \arctan(1)=\pi/4, obtemos a série clássica de Leibniz:
\frac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{2k+1} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots.
  • Observação sobre convergência (importante e útil na prova): a série é alternada, os termos 1/(2k+1) são positivos, monotonamente decrescentes e tendem a zero. Pelo teste das séries alternadas (ou teste de Leibniz), a série converge. Além disso o erro ao truncar a série após um certo termo é menor em magnitude do que o primeiro termo omitido. Isto fornece uma desigualdade de tipo
0<\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^{k}\frac{1}{2k+1}\le \frac{1}{2N+1}
quando o último termo somado é positivo; formulas análogas valem dependendo da paridade do truncamento.

Passo 4

Expresse os r_i como somas parciais da série de Leibniz multiplicada por 4 e veja propriedades da sequência (r_i).
  • Note que os r_i dados no enunciado correspondem a somas parciais agrupadas em pares. Especificamente, para n\ge 1 tem-se
r_n = 4\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}\frac{1}{2k+1}.
Isto é: r_1 soma os termos k=0,1; r_2 soma k=0,1,2,3; etc.
  • Vamos provar que a sequência (r_n) é estritamente crescente. Calcule a diferença:
r_{n+1}-r_n = 4\left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right).
Explicando: ao passar de r_n para r_{n+1} acrescentam-se dois termos à soma: o termo com índice 2n (positivo) e o termo com índice 2n+1 (negativo). Esses dois juntos dão exatamente 4/(4n+1)-4/(4n+3). Como 4n+1 < 4n+3, tem-se 1/(4n+1) > 1/(4n+3), portanto
r_{n+1}-r_n > 0.
Logo (r_n) é estritamente crescente.
  • Agora mostramos que cada r_n é menor que \pi. Sabemos que a soma infinita é \pi. Como estamos somando somente um número finito de termos e o próximo termo da série (depois dos 2n primeiros termos) é positivo, a soma parcial com 2n termos (o nosso r_n) fica abaixo da soma total. Mais formalmente, pelo teste das séries alternadas, o erro satisfa z
0 < \pi - r_n \le \frac{4}{4n+1}.
Isso mostra que (r_n) é crescente e tem uma cota superior (por exemplo \pi), portanto converge. Pela desigualdade acima a sua limite é \pi.

Passo 5

Concluir que a união dos cortes \bigcup_{i} r_i^{*} é o corte correspondente a \pi.
  • Lembre que r_i^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r_i\}. Então
\bigcup_{i\in\mathbb{N}} r_i^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid \exists i\in\mathbb{N}\text{ tal que }q<r_i\}.
  • Como (r_n) é crescente e \lim_{n\to\infty}r_n=\pi, o supremo da sequência é \pi:
\sup_{n} r_n = \pi.
  • Portanto, um racional q pertence à união acima se, e somente se, q<r_i para algum i, isto é, se q<\pi. Assim a união é exatamente o conjunto de racionais menores que \pi, que é precisamente o corte de Dedekind que representa \pi. Em fórmulas:
\bigcup_{i\in\mathbb{N}} r_i^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<\pi\}.
  • Esta igualdade responde ao segundo pedido do enunciado: a sequência de racionais r_i definida pelas somas parciais descritas converge para \pi, e a união dos cortes r_i^{*} reconstrói o corte de \pi.

Passo 6

Resumo didático e interpretação prática (como usar isso numa prova):
  • Para mostrar que não se obtém \pi como raiz de um polinômio racional, cite o teorema de Lindemann–Weierstrass e aplique a contradição com e^{i\pi}=-1. Essa é a razão conceitual: \pi é transcendental.
  • Para construir o corte de \pi a partir de racionais:
    1. Parta da expansão em série \pi/4=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k/(2k+1), que se obtém integrando a série geométrica e avaliando em x=1.
    2. Defina r_n como as somas parciais com 2n termos (como no enunciado). Mostre que (r_n) é crescente e que r_n\to\pi usando o teste das séries alternadas e a estimativa de erro.
    3. Conclua que a união dos cortes r_n^{*} é o conjunto de todos os racionais menores que \pi, ou seja, o corte de Dedekind que representa \pi.

Resposta

Não é possível porque \pi é um número transcendental; portanto não é raiz de nenhum polinômio não-nulo com coeficientes racionais (aplique o teorema de Lindemann–Weierstrass e o fato de que e^{i\pi}=-1).
\displaystyle \pi=\bigcup_{i\in\mathbb{N}} r_{i}^{*}, onde r_{n}=4\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}\dfrac{1}{2k+1} e \lim_{n\to\infty}r_n=\pi, logo a união dos cortes r_n^{*} é o corte de \pi.

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