Exercício 10. Pesquise por que não se pode encontrar o corte correspondente ao número real
usando um polinômio com coeficientes racionais, como foi feito para o caso do
. Depois, usando resultados de Integrais e Séries, mostre que o corte que corresponde ao número real
pode ser construído como:
Nesta união acima,
(naturais iniciando em 1) e os cortes
são provenientes dos números racionais
dados por :
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais e fornece os seguintes dados:
-
Primeiro pedaço pedido: explicar por que NÃO se pode obter o corte de
da mesma forma que se obtém o corte de — isto é, por que não existe um polinômio não-nulo com coeficientes racionais que tenha como raiz. -
Segundo pedaço pedido: mostrar, usando resultados de integrais e séries, que o corte que corresponde ao número real
pode ser construído como
onde
e os racionais
são dados por
- Informação implícita útil: cada corte
é o conjunto dos racionais menores que , isto é
A partir daqui, vamos explicar por que
não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais e, em seguida, usar séries e integração para mostrar que a sequência
converge para
e que a união dos cortes
é o corte de
.
Passo 2
Por que não podemos obter
como raiz de um polinômio com coeficientes racionais?
-
Primeiro precisamos distinguir dois tipos de números reais:
- Um número é chamado de número algébrico se ele é raiz de algum polinômio não-nulo com coeficientes racionais (ou inteiros).
- Um número que não é algébrico é chamado de número transcendental.
-
Exemplo:
é algébrico porque é raiz do polinômio (coeficientes racionais). -
Teorema chave (Lindemann, 1882 — frequentemente apresentado como parte do teorema de Lindemann–Weierstrass):Em palavras: a exponenciação de um número algébrico não nulo por
dá um número transcendental. -
Aplicação ao
: suponha, por contradição, que fosse algébrico. Então (onde é a unidade imaginária) também seria algébrico e não nulo. Pelo teorema, seria transcendental. Mas , e é um número algébrico (é raiz de ). Isso é uma contradição. Logo não pode ser algébrico; é transcendental. -
Conclusão pratica: não existe polinômio não-nulo com coeficientes racionais que tenha
como raiz. Assim, ao contrário de , não podemos "construir o corte de " simplesmente pegando as raízes racionais de um polinômio de coeficientes racionais.
Passo 3
Vamos agora construir
via séries e integrais. A série que aparece no enunciado é a série de Leibniz para
. Vou derivá-la de forma direta e didática usando integração de uma série geométrica.
- Começamos da identidade da série geométrica (válida para
):
Esta é a série geométrica com razão
. Para
a soma é igual ao lado esquerdo.
- Integramos termo a termo no intervalo
com . Justificação intuitiva: para a série converge uniformemente, então pode-se integrar termo a termo. A integral de é . Assim:
- Calculando as integrais:
logo
- Agora tomamos o limite
. Pelo teorema de Abel (ou pelo teste das séries alternadas, que garante convergência condicional para neste caso), a série converge para . Como , obtemos a série clássica de Leibniz:
- Observação sobre convergência (importante e útil na prova): a série é alternada, os termos
são positivos, monotonamente decrescentes e tendem a zero. Pelo teste das séries alternadas (ou teste de Leibniz), a série converge. Além disso o erro ao truncar a série após um certo termo é menor em magnitude do que o primeiro termo omitido. Isto fornece uma desigualdade de tipo
quando o último termo somado é positivo; formulas análogas valem dependendo da paridade do truncamento.
Passo 4
Expresse os
como somas parciais da série de Leibniz multiplicada por 4 e veja propriedades da sequência
.
- Note que os
dados no enunciado correspondem a somas parciais agrupadas em pares. Especificamente, para tem-se
Isto é:
soma os termos
;
soma
; etc.
- Vamos provar que a sequência
é estritamente crescente. Calcule a diferença:
Explicando: ao passar de
para
acrescentam-se dois termos à soma: o termo com índice
(positivo) e o termo com índice
(negativo). Esses dois juntos dão exatamente
. Como
, tem-se
, portanto
Logo
é estritamente crescente.
- Agora mostramos que cada
é menor que . Sabemos que a soma infinita é . Como estamos somando somente um número finito de termos e o próximo termo da série (depois dos primeiros termos) é positivo, a soma parcial com termos (o nosso ) fica abaixo da soma total. Mais formalmente, pelo teste das séries alternadas, o erro satisfa z
Isso mostra que
é crescente e tem uma cota superior (por exemplo
), portanto converge. Pela desigualdade acima a sua limite é
.
Passo 5
Concluir que a união dos cortes
é o corte correspondente a
.
- Lembre que
. Então
- Como
é crescente e , o supremo da sequência é :
- Portanto, um racional
pertence à união acima se, e somente se, para algum , isto é, se . Assim a união é exatamente o conjunto de racionais menores que , que é precisamente o corte de Dedekind que representa . Em fórmulas:
- Esta igualdade responde ao segundo pedido do enunciado: a sequência de racionais
definida pelas somas parciais descritas converge para , e a união dos cortes reconstrói o corte de .
Passo 6
Resumo didático e interpretação prática (como usar isso numa prova):
-
Para mostrar que não se obtém
como raiz de um polinômio racional, cite o teorema de Lindemann–Weierstrass e aplique a contradição com . Essa é a razão conceitual: é transcendental. -
Para construir o corte de
a partir de racionais: - Parta da expansão em série
, que se obtém integrando a série geométrica e avaliando em . - Defina
como as somas parciais com termos (como no enunciado). Mostre que é crescente e que usando o teste das séries alternadas e a estimativa de erro. - Conclua que a união dos cortes
é o conjunto de todos os racionais menores que , ou seja, o corte de Dedekind que representa .
- Parta da expansão em série
Resposta
Não é possível porque
é um número transcendental; portanto não é raiz de nenhum polinômio não-nulo com coeficientes racionais (aplique o teorema de Lindemann–Weierstrass e o fato de que
).
, onde
e
, logo a união dos cortes
é o corte de
.