Calcule a integral tripla \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{3} x y d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{3} x y \, dz \, dy \, dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;x y\;.
  • Os limites são:
    • z varia de 0 a 3;
    • y varia de 0 a 1;
    • x varia de 1 a 2.
  • A ordem de integração dada é primeiro em z, depois em y e por fim em x.
    A tarefa: calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Por que podemos calcular a integral fazendo as integrais uma por vez (iteradas)?
  • A integranda \;x y\; é contínua no retângulo de integração (produto dos intervalos dados), então vale o teorema que permite transformar a integral tripla na integral iterada nesta ordem.
  • Na prática, isso significa que integramos primeiro em z tratando x e y como constantes (porque a integral interna tem variável z), depois em y e por último em x.
    Dica rápida: quando a integranda não depende de uma variável (aqui não depende de z), a integral nessa variável é simplesmente o produto da integranda (tratada como constante) pelo comprimento do intervalo dessa variável.

Passo 3

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{3} x y \, dz.
Aqui x e y são constantes em relação a z, então podemos tirar x y para fora da integral em z:
\int_{0}^{3} x y \, dz = x y \int_{0}^{3} dz = x y \cdot (3-0) = 3 x y.
Explicação da regra usada: \emph{constante × integral de 1} — integrar dz em [0,3] dá o comprimento do intervalo, que é 3.

Passo 4

Substituir o resultado da integral em z na próxima integral (em y):
\int_{0}^{1} 3 x y \, dy.
Aqui 3x é constante em relação a y, então:
\int_{0}^{1} 3 x y \, dy = 3 x \int_{0}^{1} y \, dy.
Usando a regra do polinômio (antiderivada de y é \dfrac{y^2}{2}):
\int_{0}^{1} y \, dy = \left[\dfrac{y^2}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1} 3 x y \, dy = 3 x \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} x.

Passo 5

Agora integramos em x usando o resultado anterior:
\int_{1}^{2} \dfrac{3}{2} x \, dx.
A constante \dfrac{3}{2} sai da integral:
\dfrac{3}{2} \int_{1}^{2} x \, dx.
A antiderivada de x é \dfrac{x^2}{2}, logo
\int_{1}^{2} x \, dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.
Multiplicando:
\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}.

Passo 6

Verificação alternativa (mais direto quando a região é um produto de intervalos e a integranda é separável):
  • A integral tripla de uma função do tipo x y sobre um retângulo pode ser escrita como produto de integrais simples:
\left(\int_{1}^{2} x \, dx\right)\left(\int_{0}^{1} y \, dy\right)\left(\int_{0}^{3} dz\right).
Calculando cada uma:
\int_{1}^{2} x \, dx = \dfrac{3}{2},\quad \int_{0}^{1} y \, dy = \dfrac{1}{2},\quad \int_{0}^{3} dz = 3.
Produto:
\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3 = \dfrac{9}{4},
coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{9}{4}

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