Calcule a integral tripla
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites são:
-
varia de a ; -
varia de a ; -
varia de a .
-
- A ordem de integração dada é primeiro em
, depois em e por fim em .
A tarefa: calcular o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Por que podemos calcular a integral fazendo as integrais uma por vez (iteradas)?
- A integranda
é contínua no retângulo de integração (produto dos intervalos dados), então vale o teorema que permite transformar a integral tripla na integral iterada nesta ordem. - Na prática, isso significa que integramos primeiro em
tratando e como constantes (porque a integral interna tem variável ), depois em e por último em .
Dica rápida: quando a integranda não depende de uma variável (aqui não depende de), a integral nessa variável é simplesmente o produto da integranda (tratada como constante) pelo comprimento do intervalo dessa variável.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aqui
e
são constantes em relação a
, então podemos tirar
para fora da integral em
:
Explicação da regra usada: \emph{constante × integral de
} — integrar
em
dá o comprimento do intervalo, que é
.
Passo 4
Substituir o resultado da integral em
na próxima integral (em
):
Aqui
é constante em relação a
, então:
Usando a regra do polinômio (antiderivada de
é
):
Portanto
Passo 5
Agora integramos em
usando o resultado anterior:
A constante
sai da integral:
A antiderivada de
é
, logo
Multiplicando:
Passo 6
Verificação alternativa (mais direto quando a região é um produto de intervalos e a integranda é separável):
- A integral tripla de uma função do tipo
sobre um retângulo pode ser escrita como produto de integrais simples:
Calculando cada uma:
Produto:
coincidindo com o resultado anterior.