Calcule a integral tripla
integral triplaE(z+x) d V
onde a E é limitado por planos x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1.

Passo 1

Temos a integral tripla integral triplaE (z+x),dV, onde E é o paralelepípedo definido por 0<= x<=1, 0<= y<=1, 0<= z<=1. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais múltiplas e aplicação do teorema de Fubini para separar as integrais.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade das integrais, podemos escrever
integral triplaE (z+x),dV = integral triplaE x,dV + integral triplaE z,dV

Passo 3

Para calcular integral triplaE x,dV, aplicamos Fubini e integramos em x primeiro:
integral0^1integral0^1integral0^1 x,dx,dy,dz = (integral0^1 x,dx)(integral0^1 dy)(integral0^1 dz)

Passo 4

Calculando cada parte:
integral0^1 x,dx = 12, integral0^1 dy = 1, integral0^1 dz = 1

Passo 5

Logo,
integral triplaE x,dV = 12

Passo 6

Para calcular integral triplaE z,dV, procedemos de forma análoga:
integral triplaE z,dV = integral0^1integral0^1integral0^1 z,dx,dy,dz = (integral0^1 dx)(integral0^1 dy)(integral0^1 z,dz)

Passo 7

Calculando as partes:
integral0^1 dx = 1, integral0^1 dy = 1, integral0^1 z,dz = 12

Passo 8

Logo,
integral triplaE z,dV = 12

Passo 9

Somando os resultados obtidos:
integral triplaE (z+x),dV = 12 + 12 = 1

Resposta

1

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