Resolva:
y^prime=e^2 x+y-1 , y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' = e^2x + y - 1,
com a condição inicial y(0)=1.
Este é um caso de equação linear na forma
y' + p(x),y = q(x),
que podemos tratar com fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão:
y' - y = e^2x - 1
Aqui p(x) = -1 e q(x)=e^2x-1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -1,dxr) = e^-x
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
e^-xy' - e^-xy = e^-x(e^2x-1) = e^x - e^-x
O lado esquerdo é a derivada do produto mu(x),y, ou seja,
l(e^-xyr)' = e^x - e^-x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-xy = integrall(e^x - e^-xr),dx = integral e^x,dx - integral e^-x,dx = e^x + e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^x:
y = e^xl(e^x + e^-x + Cr) = e^2x + 1 + C,e^x
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = e^0 + 1 + C,e^0 = 1 + 1 + C = 2 + C Longrightarrow C = -1

Resposta

Substituindo C=-1, a solução particular que satisfaz y(0)=1 é
boxedy(x) = e^2x - e^x + 1

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