Calcule a integral tripla
, onde T é a região delimitada pelas superfícies:
e
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
limitada pelos paraboloides
e
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
, pois a simetria em torno do eixo
facilita a integração.
Passo 2
Primeiro determinamos a curva de interseção dos dois paraboloides resolvendo
ou seja,
Assim, a projeção de
no plano
é o disco
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas temos
,
e
. O intervalo de
vai de
até
, de
a
e de
a
. Logo,
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Então
Passo 5
Agora integramos em
e
:
e então