Calcule a integral tripla integral triplaT d V, onde T é a região delimitada pelas superfícies:
z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume da região T limitada pelos paraboloides z = x^2+y^2 e z = 2 - x^2-y^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), pois a simetria em torno do eixo z facilita a integração.

Passo 2

Primeiro determinamos a curva de interseção dos dois paraboloides resolvendo
x^2+y^2 ;=; 2 - x^2-y^2,
ou seja,
2(x^2+y^2) = 2 Longrightarrow x^2+y^2 = 1
Assim, a projeção de T no plano xy é o disco r<=1.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos x=rcostheta, y=rsintheta e dV = r,dz,dr,dtheta. O intervalo de z vai de zinf=r^2 até zsup=2 - r^2, de r=0 a r=1 e de theta=0 a 2pi. Logo,
integral triplaTdV = integraltheta=0^2pi!!integralr=0^1!!integralz=r^2^2-r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em z:
integralz=r^2^2-r^2 r,dz = rl[(2 - r^2) - r^2r] = rl(2 - 2r^2r) = 2r - 2r^3
Então
integral triplaTdV = integral0^2pi!!integral0^1 l(2r - 2r^3r),dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r e theta:
integral0^1(2r - 2r^3),dr = l[r^2 - tfrac12r^4r]0^1 = 1 - tfrac12 = tfrac12,
e então
integral triplaTdV = integral0^2pitfrac12,dtheta = tfrac12cdot 2pi = pi

Resposta

pi

Exercícios relacionados