Resolva os itens a) e b) abaixo:
Usando o método de separação de variáveis, ache uma solução u:[0, T] times [0,1] R do problema:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=9 partial^2 upartial x^2(t, x), (t, x) in] 0, T[times] 0,1[ u(t, 0)=u(t, 1)=0, t in] 0, T] u(0, x)=2 sen(pi x)-3 sen(4 pi x), x in] 0,1[ partial upartial t(0, x)=0, x in] 0,1[
OBS: Repita o procedimento feito em sala de aula.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda
partial^2 upartial t^2(t,x)=9partial^2 upartial x^2(t,x)
para (t,x)in]0,T[times]0,1[, com condições de contorno
u(t,0)=u(t,1)=0, condição inicial de deslocamento
u(0,x)=2sin(pi x)-3sin(4pi x) e condição inicial de velocidade
partialt u(0,x)=0. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autofunções.

Passo 2

Supondo
u(t,x)=T(t),X(x),
substituindo na PDE e dividindo por 9T(t)X(x)
T''(t)9T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
O problema espacial é
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=X(1)=0,
cuja família de autovalores e autofunções é
lambdan=(npi)^2, Xn(x)=sin(npi x), n=1,2,dots.

Passo 3

Para cada lambdan, a equação temporal fica
Tn''(t)+9(npi)^2Tn(t)=0,
com solução geral
Tn(t)=Ancos(3npi t)+Bnsin(3npi t)

Passo 4

Assim a solução geral é dada pela série
u(t,x)=sumn=1^inftyl[Ancos(3npi t)+Bnsin(3npi t)r]sin(npi x)

Passo 5

Usando u(0,x)=2sin(pi x)-3sin(4pi x) temos
sumn=1^inftyAnsin(npi x)=2sin(pi x)-3sin(4pi x),
daí A1=2, A4=-3 e An=0 para nneq1,4.

Passo 6

Calculando partialt u e impondo partialt u(0,x)=0 resulta
sumn=1^inftyBn,(3npi)sin(npi x)=0,
logo Bn=0 para todo n.

Resposta

u(t,x)=2cos(3pi t),sin(pi x);-;3cos(12pi t),sin(4pi x)

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