Calcule integral triplaR sen(x+y+z) d x d y d z, onde R=[0, pi2] x[0, pi] x[0, pi] :

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral tripla de sen(x+y+z) sobre a região R = [0, pi2] times [0, pi] times [0, pi]. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que nos ajudam a encontrar o volume sob uma superfície em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma explícita:
integral triplaR sen(x+y+z) , dx , dy , dz = integral0^pi2 integral0^pi integral0^pi sen(x+y+z) , dx , dy , dz
Aqui, estamos integrando x de 0 a pi2, y de 0 a pi e z de 0 a pi.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a x. Para isso, tratamos y e z como constantes:
integral0^pi2 sen(x+y+z) , dx
Sabemos que a integral de sen(u) em relação a u é -cos(u). Aqui, u = x + y + z, então:
-cos(x + y + z) |0^pi2 = -cos(pi2 + y + z) + cos(y + z)

Passo 4

Agora, substituímos isso na integral dupla restante:
integral0^pi integral0^pi [-cos(pi2 + y + z) + cos(y + z)] dy , dz
Vamos simplificar cos(pi2 + y + z). Sabemos que cos(pi2 + theta) = -sen(theta), então:
-cos(pi2 + y + z) = sen(y + z)
A integral fica então:
integral0^pi integral0^pi [sen(y + z) + cos(y + z)] dy , dz

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a y:
integral0^pi [ integral0^pi sen(y + z) , dy + integral0^pi cos(y + z) , dy ] dz
Para a primeira integral:
integral sen(y + z) , dy = -cos(y + z) |0^pi = -cos(pi + z) + cos(z)
Sabendo que cos(pi + z) = -cos(z), temos:
-(-cos(z)) + cos(z) = 2cos(z)
Para a segunda integral:
integral cos(y + z) , dy = sen(y + z) |0^pi = sen(pi + z) - sen(z)
Como sen(pi + z) = -sen(z), fica:
-sen(z) - sen(z) = -2sen(z)
Agora, combinando os resultados:
integral0^pi [ 2cos(z) - 2sen(z) ] dz

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a z:
2 integral0^pi cos(z) , dz - 2 integral0^pi sen(z) , dz
Calculando cada integral:
2 [ sen(z) |0^pi ] - 2 [ -cos(z) |0^pi ] = 2 [0 - 0] - 2 [(-cos(pi)) - (-cos(0))]
Sabendo que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1, temos:
0 - 2 [(-(-1)) - (-1)] = -2 [1 + 1] = -4

Resposta

O valor da integral tripla é -4.

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