Verifique se a função f(x, y)=llx yx^2+x y+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0) é contínua em toda parte.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x, y)= xyx^2+xy+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em todo o plano. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis e vamos precisar da definição de continuidade e do cálculo de limite por diferentes caminhos.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)≠(0,0) o denominador x²+xy+y² é diferente de zero, então f é quociente de polinômios. Logo, f é contínua em todo ponto fora da origem por propriedades de funções racionais.

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0), precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0. Se esse limite existir e valer 0, então f é contínua na origem.

Passo 4

Vamos seguir por retas y=mx. Substituindo em f: f(x,mx)=x,(mx)x^2+x,(mx)+(mx)^2=m x^2x^2+m x^2+m^2x^2=m1+m+m^2. Esse valor depende de m. Por exemplo, para m=1 o limite vale 1/3 e para m=-1 vale -1. Como variam, o limite não existe.

Passo 5

Como o limite em (0,0) depende do caminho, não é igual a 0 e, portanto, f não é contínua na origem. Assim, f é contínua em todos os pontos exceto em (0,0).

Resposta

f é contínua em todos os pontos (x,y)≠(0,0) e descontínua em (0,0).

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