Verifique se a função
é contínua em toda parte.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(x, y)=
é contínua em todo o plano. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis e vamos precisar da definição de continuidade e do cálculo de limite por diferentes caminhos.
f(x, y)=
é contínua em todo o plano. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis e vamos precisar da definição de continuidade e do cálculo de limite por diferentes caminhos.
Passo 2
Para qualquer ponto (x,y)≠(0,0) o denominador x²+xy+y² é diferente de zero, então f é quociente de polinômios. Logo, f é contínua em todo ponto fora da origem por propriedades de funções racionais.
Passo 3
Para testar a continuidade em (0,0), precisamos ver se
. Se esse limite existir e valer 0, então f é contínua na origem.
Passo 4
Vamos seguir por retas y=mx. Substituindo em f:
. Esse valor depende de m. Por exemplo, para m=1 o limite vale
e para m=-1 vale
. Como variam, o limite não existe.
Passo 5
Como o limite em (0,0) depende do caminho, não é igual a 0 e, portanto, f não é contínua na origem. Assim, f é contínua em todos os pontos exceto em (0,0).
Resposta
f é contínua em todos os pontos (x,y)≠(0,0) e descontínua em (0,0).