Calcule
integral triplaW 24 z d V, onde W é o sólido limitado por x+y+z=2, x=0, y=0, z=0, e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaW24z,dV,
sendo W o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies
x+y+z=2, x=0, y=0, z=0, z=1
O conteúdo aqui é estabelecer limites de integração para uma região descrita por um plano inclinando-se e truncada por z=1, e depois fazer a integral iterada.

Passo 2

Para descrever W em coordenadas cartesianas, note que z varia entre 0 e 1. Para cada z fixo, a projeção no plano xy é o triângulo
x>=0, y>=0, x+y<= 2-z
Logo, podemos tomar
0<= z<=1, 0<= x<= 2-z, 0<= y<= 2-z - x

Passo 3

Escrevemos então a integral iterada:
integral triplaW24z,dV =integralz=0^1integralx=0^2-zintegraly=0^2-z-x24z,dy,dx,dz

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integraly=0^2-z-x24z,dy =24zl[(2-z-x)-0r] =24z,(2-z-x)
Em seguida em x:
integralx=0^2-z24z,(2-z-x),dx =24zintegral0^2-z(2-z-x),dx =24z[,(2-z)x-x^22]0^2-z =24zcdot(2-z)^22 =12z,(2-z)^2

Passo 5

Por fim, integramos em z:
integral0^112z,(2-z)^2,dz =12integral0^1l(4z-4z^2+z^3r),dz =12l[2-tfrac43+tfrac14r] =12cdot1112 =11

Resposta

11

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