Calcule a componente barz do centro de massa do sólido W dado por x^2+y^2+z^2 >= 2 z, x^2+y^2+z^2 <= 8 z, z >= raizx^2+y^2, z <= raiz3(x^2+y^2), se a densidade no ponto (x, y, z) é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Resumindo, queremos a componente barz do centro de massa de W com densidade rho(x,y,z)=k/l(x^2+y^2+z^2r), ou seja rho=k/r^2 onde r=raizx^2+y^2+z^2. Como as fronteiras de W são dadas por
x^2+y^2+z^2>=2z, x^2+y^2+z^2<=8z, z>=raizx^2+y^2, z<=raiz3(x^2+y^2),
é natural usar coordenadas esféricas:
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, z=rcosphi
Da condição z>=raizx^2+y^2 vem phi<=pi/4 e de z<=raiz3(x^2+y^2) vem phi>=pi/6. Das esferas r^2=2z e r^2=8z obtemos r=2cosphi e r=8cosphi. Logo os limites são
0<=theta<=2pi, pi6<=phi<=pi4, 2cosphi<= r<=8cosphi
Precisamos então calcular
M=integral triplaWrho,dV, N=integral triplaW z,rho,dV,
e depois barz=N/M.

Passo 2

Cálculo da massa
M=integral0^2pi!!integralpi/6^pi/4!!integral2cosphi^8cosphi kr^2,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta =kcdot2piintegralpi/6^pi/4sinphil(8cosphi-2cosphir)dphi
Isto é
M=2pi kintegralpi/6^pi/46sinphicosphi,dphi =12pi kintegralpi/6^pi/4sinphicosphi,dphi =12pi kl[tfrac12sin^2phir]pi/6^pi/4 =6pi kl(tfrac12-tfrac14r) =3pi k2

Passo 3

Cálculo do momento em z
N=integral0^2pi!!integralpi/6^pi/4!!integral2cosphi^8cosphi l(rcosphir)kr^2,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta =k,2piintegralpi/6^pi/4cosphisinphil[integral2cosphi^8cosphir,drr]dphi
O integral em r tfrac12[(8cosphi)^2-(2cosphi)^2]=30cos^2phi. Logo
N=2pi kintegralpi/6^pi/430cos^2phicosphisinphi,dphi =60pi kintegralpi/6^pi/4cos^3phisinphi,dphi
Fazendo u=cosphi, du=-sinphi,dphi, obtém-se
integralpi/6^pi/4cos^3phisinphi,dphi =l[-tfracu^44r]u=cos(pi/6)^u=cos(pi/4) =14l(cos^4tfracpi6-cos^4tfracpi4r) =564
Portanto
N=60pi kcdot564=75pi k16

Passo 4

Agora a componente barz é
barz=NM =tfrac75pi k16tfrac3pi k2 =7516cdot23 =258

Resposta

barz=258

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