Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{x}} e^{x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trocando a ordem de integração. A expressão fornecida é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{x^{2}} \,d x\, d y.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O integrando é \,e^{x^{2}}\,.
  • Os limites externos vão de 0 a 1 (o que aparece como o primeiro integral).
  • O limite interno é 0 até \sqrt{x}.
    Observação necessária para prosseguir: o símbolo do diferencial interno indicado no enunciado parece inconsistênte (é d x enquanto o limite superior usa \sqrt{x}). Vou interpretar a forma correta e usuais desse tipo de exercício como sendo
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{x^{2}} \,d y\, d x,
ou seja, integrar primeiro em y (variável interna) de 0 a \sqrt{x} e depois em x de 0 a 1. Vou trabalhar com essa interpretação para poder trocar a ordem de integração e calcular a integral.

Passo 2

Descrevendo a região de integração no plano xy:
  • A condição 0\le x\le 1 e 0\le y\le \sqrt{x} significa que estamos no conjunto
\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
  • Reescrevendo a desigualdade y\le \sqrt{x} como x\ge y^{2}, e lembrando que \sqrt{x} para x\in[0,1] varia entre 0 e 1, obtemos a descrição equivalente
\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y^{2}\le x\le 1\}.
Isto é, para cada y fixo em [0,1], x vai de y^{2} até 1. Essa é a informação geométrica que nos permite trocar a ordem de integração.

Passo 3

Trocando a ordem de integração usando a descrição da região obtida no Passo 2, escrevemos a integral como
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{1} e^{x^{2}} \,d x\, d y.
Expliquei: agora a integração interna é em x (de x=y^{2} até x=1) e a externa é em y (de 0 a 1).

Passo 4

Antes de tentar calcular diretamente a integral interna \int_{y^{2}}^{1} e^{x^{2}}\,dx, vale observar qual ordem facilita o cálculo. Note que:
  • A função e^{x^{2}} não tem antiderivada elementar em x (a primitiva envolve funções especiais).
  • Se voltarmos à integral na ordem original (integrando em y primeiro), a integral interna fica simples porque o integrando não depende de y:
\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{x^{2}} \,d y = e^{x^{2}} \cdot \bigl[\;y\;\bigr]_{0}^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\,e^{x^{2}}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
I=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,e^{x^{2}} \,d x.
(Esse é o passo chave: aproveitar que e^{x^{2}} é constante em relação a y.)

Passo 5

Agora calculamos I=\int_{0}^{1} x^{1/2} e^{x^{2}} \,d x. Fazemos a substituição u=x^{2}. Então:
  • u=x^{2} implica du=2x\,dx.
  • Precisamos expressar x^{1/2}\,dx em termos de u. Como x=\sqrt{u}, temos x^{1/2}=u^{1/4} e dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u}}=\dfrac{du}{2u^{1/2}}. Assim
x^{1/2}\,dx = u^{1/4}\cdot \frac{du}{2u^{1/2}} = \frac{1}{2}\,u^{-1/4}\,du.
  • Os limites: quando x=0 tem u=0; quando x=1 tem u=1.
    Portanto
I=\int_{0}^{1} x^{1/2} e^{x^{2}} \,d x = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{-1/4} e^{u} \,d u.
Observação didática: a integral \int_{0}^{1} u^{-1/4} e^{u}\,du não tem primitiva elementar simples; podemos avaliá-la numericamente ou representar por funções especiais. Vou mostrar uma forma prática de obter um valor numérico usando a expansão em série de e^{u}, que é legitimamente aplicável aqui porque a série converge uniformemente em [0,1].

Passo 6

Usando a série de Taylor de e^{u}:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!},
podemos integrar termo a termo (justificado em [0,1]):
\int_{0}^{1} u^{-1/4} e^{u}\,du = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1} u^{n-1/4}\,du.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{1} u^{n-1/4}\,du = \left[\frac{u^{n+3/4}}{n+3/4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+\tfrac{3}{4}}.
Logo
\int_{0}^{1} u^{-1/4} e^{u}\,du = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,\bigl(n+\tfrac{3}{4}\bigr)}.
E assim
I=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,\bigl(n+\tfrac{3}{4}\bigr)}.
Para obter um valor numérico, somamos os primeiros termos da série até convergência razoável. Calculando os primeiros termos:
  • n=0:\; \dfrac{1}{0!\,(0+\tfrac{3}{4})}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}333333333
  • n=1:\; \dfrac{1}{1!\,(1+\tfrac{3}{4})}=\dfrac{1}{1{,}75}\approx 0{,}571428571
  • n=2:\; \dfrac{1}{2!\,(2+\tfrac{3}{4})}\approx 0{,}181818182
  • n=3:\; \dfrac{1}{6\,(3{,}75)}\approx 0{,}044444444
  • n=4:\; \dfrac{1}{24\,(4{,}75)}\approx 0{,}008771930
    … somando termos até estabilidade obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,\bigl(n+\tfrac{3}{4}\bigr)} \approx 2{,}141480239
e portanto
I=\frac{1}{2}\cdot 2{,}141480239\approx 1{,}0707401195.
(O processo de somar os termos é mecânico — na prova você pode dizer que a integral não tem primitiva elementar e apresentar o resultado em forma de série ou em termos de funções especiais; se pedirem valor numérico, a soma da série dá esse valor.)

Resposta

I\approx 1{,}0707401195

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