Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral trocando a ordem de integração. A expressão fornecida é
Informações importantes que o enunciado dá:
- O integrando é
. - Os limites externos vão de
a (o que aparece como o primeiro integral). - O limite interno é
até .
Observação necessária para prosseguir: o símbolo do diferencial interno indicado no enunciado parece inconsistênte (éenquanto o limite superior usa ). Vou interpretar a forma correta e usuais desse tipo de exercício como sendo
ou seja, integrar primeiro em
(variável interna) de
a
e depois em
de
a
. Vou trabalhar com essa interpretação para poder trocar a ordem de integração e calcular a integral.
Passo 2
Descrevendo a região de integração no plano
:
- A condição
e significa que estamos no conjunto
- Reescrevendo a desigualdade
como , e lembrando que para varia entre e , obtemos a descrição equivalente
Isto é, para cada
fixo em
,
vai de
até
. Essa é a informação geométrica que nos permite trocar a ordem de integração.
Passo 3
Trocando a ordem de integração usando a descrição da região obtida no Passo 2, escrevemos a integral como
Expliquei: agora a integração interna é em
(de
até
) e a externa é em
(de
a
).
Passo 4
Antes de tentar calcular diretamente a integral interna
, vale observar qual ordem facilita o cálculo. Note que:
- A função
não tem antiderivada elementar em (a primitiva envolve funções especiais). - Se voltarmos à integral na ordem original (integrando em
primeiro), a integral interna fica simples porque o integrando não depende de :
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
(Esse é o passo chave: aproveitar que
é constante em relação a
.)
Passo 5
Agora calculamos
. Fazemos a substituição
. Então:
-
implica . - Precisamos expressar
em termos de . Como , temos e . Assim
- Os limites: quando
tem ; quando tem .
Portanto
Observação didática: a integral
não tem primitiva elementar simples; podemos avaliá-la numericamente ou representar por funções especiais. Vou mostrar uma forma prática de obter um valor numérico usando a expansão em série de
, que é legitimamente aplicável aqui porque a série converge uniformemente em
.
Passo 6
Usando a série de Taylor de
:
podemos integrar termo a termo (justificado em
):
Calcule a integral simples:
Logo
E assim
Para obter um valor numérico, somamos os primeiros termos da série até convergência razoável. Calculando os primeiros termos:
-
-
-
-
-
… somando termos até estabilidade obtemos
e portanto
(O processo de somar os termos é mecânico — na prova você pode dizer que a integral não tem primitiva elementar e apresentar o resultado em forma de série ou em termos de funções especiais; se pedirem valor numérico, a soma da série dá esse valor.)