Exercice 4. Déterminer les plus grands sous-ensembles A et B de
tels que la fonction f définie par
constitue une bijection de A vers B et déterminer sa bijection réciproque.
Passo 1
O enunciado dá a função
(a definir domínio) definida por
Pede-se:
- Determinar os maiores subconjuntos
e de tais que seja bijeção de sobre . - Determinar a bijeção recíproca
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (lista de dados disponíveis, sem resolver ainda):
- A expressão contém
no denominador, logo valores de que anulam o denominador são proibidos. - A função pode ser vista via substituição
para trabalhar com uma função racional em . - Precisaremos estudar domínio, monotonicidade/injetividade e imagem/sobrejetividade para obter a bijeção e então resolver algebricamente para a inversa.
Passo 2
Determinar o domínio máximo permitido da expressão analisando o denominador.
A condição de existência é
, isto é
Como
ocorre exatamente quando
, o maior domínio natural (conjunto candidato a
) é
Anote: por enquanto temos que
não pode conter
; resta verificar se toda essa escolha torna
bijetora sobre algum conjunto
.
Passo 3
Fazer a substituição
para simplificar o estudo. Como
para todo
, e excluímos
(onde
), obtemos
Definimos a função auxiliar em
:
Note que
. Estudaremos
para inferir propriedades de
.
Passo 4
Estudar monotonicidade de
. Calcule a derivada:
Como
para todo
, temos
para todo
. Então
é estritamente decrescente em cada um dos intervalos
e
. Como
é estritamente crescente em
, a composição
herda injetividade em cada ramo
e
. Ainda precisamos verificar se as imagens desses ramos se sobrepõem ou não.
Passo 5
Calcular limites das duas porções para obter as imagens separadas.
Para
(isto corresponde a
) temos
Para
temos
Portanto, sobre o intervalo
(que corresponde a
) a imagem é o intervalo aberto
Para
temos
Para
(isto é,
) temos
Como
é estritamente decrescente em
, a imagem nesse ramo é o intervalo aberto
Portanto a imagem total (conjunto
) ao tomar
é a união
Observação interpretativa: as duas imagens dos ramos não se sobrepõem, logo
é injetora em todo
e é sobrejetora sobre
acima. Assim
e
são candidatos máximos: não dá para incluir
em
nem incluir valores de
fora de
na imagem.
Passo 6
Mostrar explicitamente que a inversa existe e encontrá-la: resolver
para
.
Começamos escrevendo
e resolvendo para
:
Desenvolvendo:
Se
temos
Como
, isso impõe a condição
, que é exatamente a condição que caracteriza o conjunto
(ver passo anterior). Finalmente
Portanto a inversa é a função
com domínio
, que coincide com o conjunto
encontrado.
Passo 7
Verificações finais e conclusão didática rápida:
- O domínio máximo permitido pela expressão é
(não se pode incluir porque anula o denominador). - Em
a função tem dois ramos contínuos (para e ), cada um estritamente monotônico e com imagens disjuntas e . Por isso é injetora em todo e sua imagem é exatamente . - A inversa foi obtida resolvendo algebricamente e é
definida em .