Exercice 4. Déterminer les plus grands sous-ensembles A et B de \mathbb{R} tels que la fonction f définie par \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1} constitue une bijection de A vers B et déterminer sa bijection réciproque.

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (a definir domínio) definida por
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1}.
Pede-se:
  • Determinar os maiores subconjuntos A e B de \mathbb{R} tais que \mathrm{f} seja bijeção de A sobre B.
  • Determinar a bijeção recíproca \mathrm{f}^{-1}:B\to A.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (lista de dados disponíveis, sem resolver ainda):
  • A expressão contém \mathrm{e}^{\mathrm{x}} no denominador, logo valores de x que anulam o denominador são proibidos.
  • A função pode ser vista via substituição t=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} para trabalhar com uma função racional em t.
  • Precisaremos estudar domínio, monotonicidade/injetividade e imagem/sobrejetividade para obter a bijeção e então resolver algebricamente para a inversa.

Passo 2

Determinar o domínio máximo permitido da expressão analisando o denominador.
A condição de existência é \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1 \neq 0, isto é
\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\neq 1.
Como \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=1 ocorre exatamente quando \mathrm{x}=0, o maior domínio natural (conjunto candidato a A) é
\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Anote: por enquanto temos que A não pode conter 0; resta verificar se toda essa escolha torna \mathrm{f} bijetora sobre algum conjunto B.

Passo 3

Fazer a substituição t=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} para simplificar o estudo. Como \mathrm{e}^{\mathrm{x}}>0 para todo \mathrm{x}\in\mathbb{R}, e excluímos \mathrm{x}=0 (onde t=1), obtemos
t\in(0,\infty)\setminus\{1\}.
Definimos a função auxiliar em t:
g(t)=\frac{t+2}{t-1},\qquad t>0,\\ t\neq 1.
Note que \mathrm{f}(\mathrm{x})=g\big(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\big). Estudaremos g para inferir propriedades de \mathrm{f}.

Passo 4

Estudar monotonicidade de g. Calcule a derivada:
g'(t)=\frac{(t-1)\cdot 1-(t+2)\cdot 1}{(t-1)^2}=\frac{-3}{(t-1)^2}.
Como (t-1)^2>0 para todo t\neq 1, temos g'(t)=-\dfrac{3}{(t-1)^2}<0 para todo t>0,\\ t\neq1. Então g é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (0,1) e (1,\infty). Como \mathrm{e}^{\mathrm{x}} é estritamente crescente em \mathbb{R}, a composição \mathrm{f}(\mathrm{x})=g(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}) herda injetividade em cada ramo x<0 e x>0. Ainda precisamos verificar se as imagens desses ramos se sobrepõem ou não.

Passo 5

Calcular limites das duas porções para obter as imagens separadas.
Para t\to 0^+ (isto corresponde a \mathrm{x}\to -\infty) temos
\lim_{t\to 0^+} g(t)=\lim_{t\to 0^+}\frac{t+2}{t-1}=\frac{2}{-1}=-2.
Para t\to 1^- temos
\lim_{t\to 1^-} g(t)=\frac{3}{0^-}=-\infty.
Portanto, sobre o intervalo t\in(0,1) (que corresponde a \mathrm{x}\in(-\infty,0)) a imagem é o intervalo aberto
(-\infty,-2).
Para t\to 1^+ temos
\lim_{t\to 1^+} g(t)=\frac{3}{0^+}=+\infty.
Para t\to +\infty (isto é, \mathrm{x}\to +\infty) temos
\lim_{t\to +\infty} g(t)=\lim_{t\to +\infty}\left(1+\frac{3}{t-1}\right)=1.
Como g é estritamente decrescente em (1,\infty), a imagem nesse ramo é o intervalo aberto
(1,\infty).
Portanto a imagem total (conjunto B) ao tomar A=\mathbb{R}\setminus\{0\} é a união
B = (-\infty,-2)\cup(1,\infty).
Observação interpretativa: as duas imagens dos ramos não se sobrepõem, logo \mathrm{f} é injetora em todo A=\mathbb{R}\setminus\{0\} e é sobrejetora sobre B acima. Assim A e B são candidatos máximos: não dá para incluir 0 em A nem incluir valores de y fora de B na imagem.

Passo 6

Mostrar explicitamente que a inversa existe e encontrá-la: resolver y=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1} para \mathrm{x}.
Começamos escrevendo t=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} e resolvendo para t:
y=\frac{t+2}{t-1}\quad\Longrightarrow\quad y(t-1)=t+2.
Desenvolvendo:
yt-y=t+2\quad\Longrightarrow\quad yt-t=y+2\quad\Longrightarrow\quad t(y-1)=y+2.
Se y\neq 1 temos
t=\frac{y+2}{y-1}.
Como t=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}>0, isso impõe a condição \dfrac{y+2}{y-1}>0, que é exatamente a condição que caracteriza o conjunto B (ver passo anterior). Finalmente
\mathrm{x}=\ln t=\ln\!\left(\frac{y+2}{y-1}\right).
Portanto a inversa é a função
\mathrm{f}^{-1}(y)=\ln\!\left(\frac{y+2}{y-1}\right),
com domínio y\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty), que coincide com o conjunto B encontrado.

Passo 7

Verificações finais e conclusão didática rápida:
  • O domínio máximo permitido pela expressão é A=\mathbb{R}\setminus\{0\} (não se pode incluir 0 porque \mathrm{e}^0=1 anula o denominador).
  • Em A a função tem dois ramos contínuos (para x<0 e x>0), cada um estritamente monotônico e com imagens disjuntas (-\infty,-2) e (1,\infty). Por isso \mathrm{f} é injetora em todo A e sua imagem é exatamente B=(-\infty,-2)\cup(1,\infty).
  • A inversa foi obtida resolvendo algebricamente e é \mathrm{f}^{-1}(y)=\ln\!\left(\dfrac{y+2}{y-1}\right) definida em B.

Resposta

A=\mathbb{R}\setminus\{0\}
B=(-\infty,-2)\cup(1,\infty)
\mathrm{f}^{-1}(y)=\ln\!\left(\dfrac{y+2}{y-1}\right)

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