Calcule a integral.
u)
\int(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a primitiva (antiderivada) da função (\ln x)^{2}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=(\ln x)^{2} para x>0, e apresentar a resposta com a constante de integração C. Informação importante fornecida implicitamente: o domínio onde \ln x está definido é x>0.

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vou usar.
Uma técnica muito útil para integrais onde aparece \ln x é a integração por partes. A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da diferenciação e é escrita assim:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função cuja diferencial du eu consigo calcular,
  • dv é a parte restante do integrando que eu escolho e cuja primitiva v eu consigo calcular.
Explicando de modo bem prático: escolhe-se u para simplificar quando derivada, e escolhe-se dv que seja fácil de integrar. Aqui, para \int (\ln x)^{2}\,dx, a escolha conveniente é
u=(\ln x)^{2},\qquad dv=dx,
porque derivar (\ln x)^{2} reduz a potência de \ln x e integrar dx é trivial.

Passo 3

Calcular du e v para aplicar a fórmula.
Derivando u:
u=(\ln x)^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{2\ln x}{x}\,dx.
Integrando dv:
dv=dx\quad\Rightarrow\quad v=\int dx = x.
Agora aplico a fórmula da integração por partes:
\int (\ln x)^{2}\,dx = u v - \int v\,du = x(\ln x)^{2} - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx.

Passo 4

Calcular \int \ln x\,dx (subintegral que sobrou) também por partes.
Para \int \ln x\,dx escolho, de novo,
u=\ln x,\qquad dv=dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando integração por partes:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.

Passo 5

Substituir o resultado do passo anterior na expressão obtida no Passo 3 e simplificar.
Tínhamos
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx.
Substituindo \int \ln x\,dx = x\ln x - x:
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\bigl(x\ln x - x\bigr).
Distribuindo o -2:
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança).
Derivando F(x)=x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x:
F'(x)=\bigl(\ln x\bigr)^{2} + x\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x} - 2\bigl(\ln x + x\cdot\frac{1}{x}\bigr) + 2\cdot 1.
Simplificando termo a termo:
F'(x)=(\ln x)^{2} + 2\ln x - 2\ln x - 2 + 2 = (\ln x)^{2}.
Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x+C

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