Calcule a integral.
u)
u)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a primitiva (antiderivada) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
para
, e apresentar a resposta com a constante de integração
. Informação importante fornecida implicitamente: o domínio onde
está definido é
.
Passo 2
Escolha do método e a fórmula que vou usar.
Uma técnica muito útil para integrais onde aparece
é a integração por partes. A fórmula da integração por partes vem da regra do produto da diferenciação e é escrita assim:
onde:
-
é uma função cuja diferencial eu consigo calcular, -
é a parte restante do integrando que eu escolho e cuja primitiva eu consigo calcular.
Explicando de modo bem prático: escolhe-se
para simplificar quando derivada, e escolhe-se
que seja fácil de integrar. Aqui, para
, a escolha conveniente é
porque derivar
reduz a potência de
e integrar
é trivial.
Passo 3
Calcular
e
para aplicar a fórmula.
Derivando
:
Integrando
:
Agora aplico a fórmula da integração por partes:
Simplificando o integrando:
Passo 4
Calcular
(subintegral que sobrou) também por partes.
Para
escolho, de novo,
Então
Aplicando integração por partes:
Passo 5
Substituir o resultado do passo anterior na expressão obtida no Passo 3 e simplificar.
Tínhamos
Substituindo
:
Distribuindo o
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança).
Derivando
:
Simplificando termo a termo:
Portanto a primitiva está correta.