Usando coordenadas polares calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x
(a) \frac{\pi}{16}
(b) \frac{\pi}{8}
(c) \frac{\pi}{6}
(d) \frac{\pi}{4}
(e) \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx,
e apresenta cinco alternativas de resposta:
(a) \dfrac{\pi}{16}, (b) \dfrac{\pi}{8}, (c) \dfrac{\pi}{6}, (d) \dfrac{\pi}{4}, (e) \dfrac{\pi}{2}.
Informações dadas e observações do domínio de integração:
  • A variável x varia de 0 a 1.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até \sqrt{1-x^{2}}.
  • A fronteira y=\sqrt{1-x^{2}} é a semicircunferência de raio 1 centrada na origem, mas como temos x\ge 0 e y\ge 0, o domínio é o quarto de disco no primeiro quadrante com raio 1.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
O que será feito a seguir: trocar para coordenadas polares e calcular a integral de forma passo a passo.

Passo 2

Explicando coordenadas polares e como usá-las (mini-aula):
  • Em coordenadas polares define-se x e y por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • A área infinitesimal dx\,dy em coordenadas polares transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Essa fator r é o jacobiano da transformação; geometricamente aparece porque um retângulo \Delta r\times \Delta\theta em coordenadas polares tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • Sempre que trocar para polares, converter o integrando (substituir x e y) e multiplicar pelo fator r do elemento de área.

Passo 3

Converter o integrando para polares:
  • O integrando é x^{2}+y^{2}. Substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta obtemos
x^{2}+y^{2} = (r\cos\theta)^{2} + (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big).
  • Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1, fica simplesmente
x^{2}+y^{2} = r^{2}.

Passo 4

Determinar os limites em polares para o domínio (quarto de disco):
  • O domínio é o conjunto de pontos com 0\le r\le 1 (porque o raio máximo é 1).
  • Como estamos no primeiro quadrante com x\ge0 e y\ge0, o ângulo \theta varia de 0 até \dfrac{\pi}{2}.
    Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares:
  • Substituindo o integrando x^{2}+y^{2}=r^{2} e o elemento de área dx\,dy = r\,dr\,d\theta, o integrando total vira r^{2}\cdot r = r^{3}.
  • Assim a integral original passa a ser
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (integração em r primeiro):
  • Integramos em r:
\int_{r=0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4}-0 = \dfrac{1}{4}.
  • Agora integra-se em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi/2} \dfrac{1}{4}\,d\theta = \dfrac{1}{4}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{8}.

Passo 7

Comentário final e incentivo: deu tudo certinho — o uso de coordenadas polares transformou uma região curva numa região retangular em (r,\theta) e o integrando ficou simples ( r^{3}). Você consegue aplicar esse mesmo raciocínio para integrais em discos e setores em outras provas: sempre identifique o raio máximo e o intervalo angular, escreva x e y em função de r,\theta e não esqueça do fator r do jacobiano. Bora que é isso!

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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