Usando coordenadas polares calcule a integral
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
e apresenta cinco alternativas de resposta:
(a) , (b)
, (c)
, (d)
, (e)
.
(a)
Informações dadas e observações do domínio de integração:
- A variável
varia de a . - Para cada
fixo, varia de até . - A fronteira
é a semicircunferência de raio centrada na origem, mas como temos e , o domínio é o quarto de disco no primeiro quadrante com raio . - O integrando é
.
O que será feito a seguir: trocar para coordenadas polares e calcular a integral de forma passo a passo.
Passo 2
Explicando coordenadas polares e como usá-las (mini-aula):
- Em coordenadas polares define-se
e por
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
- A área infinitesimal
em coordenadas polares transforma-se em
Essa fator
é o jacobiano da transformação; geometricamente aparece porque um retângulo
em coordenadas polares tem área aproximada
.
- Sempre que trocar para polares, converter o integrando (substituir
e ) e multiplicar pelo fator do elemento de área.
Passo 3
Converter o integrando para polares:
- O integrando é
. Substituindo e obtemos
- Usando a identidade trigonométrica
, fica simplesmente
Passo 4
Determinar os limites em polares para o domínio (quarto de disco):
- O domínio é o conjunto de pontos com
(porque o raio máximo é ). - Como estamos no primeiro quadrante com
e , o ângulo varia de até .
Portanto os limites sãoe .
Passo 5
Montar a integral em coordenadas polares:
- Substituindo o integrando
e o elemento de área , o integrando total vira . - Assim a integral original passa a ser
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (integração em
primeiro):
- Integramos em
:
- Agora integra-se em
:
Passo 7
Comentário final e incentivo: deu tudo certinho — o uso de coordenadas polares transformou uma região curva numa região retangular em
e o integrando ficou simples (
). Você consegue aplicar esse mesmo raciocínio para integrais em discos e setores em outras provas: sempre identifique o raio máximo e o intervalo angular, escreva
e
em função de
e não esqueça do fator
do jacobiano. Bora que é isso!