\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} d x, \int \frac{x^{2}-5 x+16}{(2 x+1)(x-2)} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais racionais usando frações parciais:
\displaystyle \int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx
\displaystyle \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx
O método geral é decompor cada integrando em termos de frações simples da forma \tfrac{A}{\text{linear}} (e, se necessário, fazer divisão de polinômios quando o grau do numerador não for estritamente menor que o do denominador).
Passo 2
Para \displaystyle \int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx, escrevemos
Escolhendo x = a obtemos 1 = A(a - b), logo A = \frac{1}{a - b}.
Escolhendo x = b obtemos 1 = B(b - a), logo B = \frac{1}{b - a} = -\frac{1}{a - b}.
Portanto,
Para \displaystyle \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx, notamos que o grau do numerador é igual ao do denominador (ambos 2), então primeiro fazemos divisão de polinômios:
\begin{cases} A + 2B = -\tfrac{7}{2},\\\\ -2A + B = 17. \end{cases}
Da primeira A = -\tfrac{7}{2} - 2B\]. Substituindo na segunda:
\[-2\Bigl(-\tfrac{7}{2} - 2B\Bigr) + B = 17 \;\Rightarrow\;7 + 4B + B = 17 \;\Rightarrow\;5B = 10 \;\Rightarrow\;B = 2,\]
e então \(A = -\tfrac{7}{2} - 4 = -\tfrac{15}{2}. Assim