Calcule a integral usando frações parciais.
  • \int \frac{1}{(x-a)(x-b)} d x,
    \int \frac{x^{2}-5 x+16}{(2 x+1)(x-2)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais racionais usando frações parciais:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx
  2. \displaystyle \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx
    O método geral é decompor cada integrando em termos de frações simples da forma \tfrac{A}{\text{linear}} (e, se necessário, fazer divisão de polinômios quando o grau do numerador não for estritamente menor que o do denominador).

Passo 2

Para \displaystyle \int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx, escrevemos
\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}.
Multiplicando por (x - a)(x - b)
1 = A(x - b) + B(x - a).
Escolhendo x = a obtemos 1 = A(a - b), logo A = \frac{1}{a - b}.
Escolhendo x = b obtemos 1 = B(b - a), logo B = \frac{1}{b - a} = -\frac{1}{a - b}.
Portanto,
\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{1}{a - b}\,\frac{1}{x - a} - \frac{1}{a - b}\,\frac{1}{x - b} = \frac{1}{\,b - a\,}\Bigl(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b}\Bigr).

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx = \frac{1}{b - a}\int\Bigl(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x - b}\Bigr)\,dx = \frac{1}{b - a}\Bigl(\ln\lvert x - a\rvert - \ln\lvert x - b\rvert\Bigr) + C_1.
Podemos também escrever
\boxed{\int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx = \frac{1}{b - a}\ln\Bigl\lvert\frac{x - a}{x - b}\Bigr\rvert + C_1.}

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx, notamos que o grau do numerador é igual ao do denominador (ambos 2), então primeiro fazemos divisão de polinômios:
\frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)} = \frac{x^{2} - 5x + 16}{2x^{2} - 3x - 2} = \frac12 + \frac{R(x)}{(2x + 1)(x - 2)},
onde R(x) é o resto da divisão. Dividindo, obtemos
x^{2} - 5x + 16 = \tfrac12\,(2x^{2} - 3x - 2) + \bigl(-\tfrac{7}{2}x + 17\bigr),
logo
\frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)} = \frac12 + \frac{-\tfrac{7}{2}x + 17}{(2x + 1)(x - 2)}.

Passo 5

Agora decompondo a parte própria
\frac{-\tfrac{7}{2}x + 17}{(2x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{B}{x - 2}.
Multiplicando por (2x + 1)(x - 2)\) resulta \[-\frac{7}{2}x + 17 = A(x - 2) + B(2x + 1) = (A + 2B)x + (-2A + B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + 2B = -\tfrac{7}{2},\\\\ -2A + B = 17. \end{cases}
Da primeira A = -\tfrac{7}{2} - 2B\]. Substituindo na segunda: \[-2\Bigl(-\tfrac{7}{2} - 2B\Bigr) + B = 17 \;\Rightarrow\;7 + 4B + B = 17 \;\Rightarrow\;5B = 10 \;\Rightarrow\;B = 2,\] e então \(A = -\tfrac{7}{2} - 4 = -\tfrac{15}{2}. Assim
\frac{-\tfrac{7}{2}x + 17}{(2x + 1)(x - 2)} = -\frac{15/2}{2x + 1} + \frac{2}{x - 2}.

Passo 6

Reunindo tudo,
\int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx = \int \frac12\,dx + \int\Bigl(-\frac{15/2}{2x + 1} + \frac{2}{x - 2}\Bigr)\,dx.
Integramos cada parte:
\int \frac12\,dx = \frac{x}{2} + C_2, \quad \int \frac{-\tfrac{15}{2}}{2x + 1}\,dx = -\frac{15}{2}\cdot\frac12 \ln\lvert 2x + 1\rvert = -\frac{15}{4}\ln\lvert 2x + 1\rvert,
\int \frac{2}{x - 2}\,dx = 2\ln\lvert x - 2\rvert.
Logo,
\boxed{\int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{15}{4}\ln\lvert 2x + 1\rvert + 2\ln\lvert x - 2\rvert + C_3.}

Resposta

Para as duas integrais, temos:
(a) \displaystyle \int \frac{1}{(x - a)(x - b)}\,dx = \frac{1}{b - a}\ln\Bigl\lvert\frac{x - a}{x - b}\Bigr\rvert + C.
(b) \displaystyle \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{15}{4}\ln\lvert 2x + 1\rvert + 2\ln\lvert x - 2\rvert + C.

Exercícios relacionados