Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
Passo 1
O enunciado fornece a equação em duas variáveis
no domínio interno da elipse
e impõe a condição de contorno
O conteúdo é teoria de equações parabólicas/hiperbólicas/ elípticas de segunda ordem e identificação de problema de contorno versus problema de Cauchy.
Passo 2
Classificamos a equação em
pelo discriminante
onde aqui
,
,
. Logo
(válido na maior parte do domínio), caracterizando uma equação elíptica.
Passo 3
Num problema elíptico em domínio fechado, costuma‐se prescrever apenas valores de
sobre toda a fronteira: isso é um problema de contorno (Dirichlet).
Não há derivada temporal nem condições em “ ” ou similar, logo não é problema de Cauchy nem há parte mista.
Não há derivada temporal nem condições em “
Passo 4
Como o contorno está parametrizado por
e pontos extremos
e
coincidem no mesmo ponto
, é preciso verificar compatibilidade:
Portanto
e a condição de contorno é contínua e compatível.
Resposta
Este é um problema de contorno (Dirichlet) para uma equação elíptica.
A única função dada, , satisfaz a condição de compatibilidade
.
A única função dada,