Identifique as condições iniciais e/ou de contorno nos problemas abaixo indicando se o problema é um problema de Cauchy, de contorno ou misto. Indique também se alguma das funções dadas tem que satisfazer condições de compatibilidade.
\begin{aligned} & y^{2} u_{x x}+x^{2} u_{y y}+x y u=x+y \text { se } x^{2} / 4+y^{2} / 9<1 \\\ & \boldsymbol{u}(2 \operatorname{sen} t, 3 \cos \boldsymbol{t})=t(2 \pi-t), \quad t \in[0,2 \pi] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a equação em duas variáveis
y^{2}\,u_{xx}+x^{2}\,u_{yy}+x\,y\,u = x + y
no domínio interno da elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} < 1
e impõe a condição de contorno
u\bigl(2\sin t,\;3\cos t\bigr)=t\,(2\pi - t),\quad t\in[0,2\pi].
O conteúdo é teoria de equações parabólicas/hiperbólicas/ elípticas de segunda ordem e identificação de problema de contorno versus problema de Cauchy.

Passo 2

Classificamos a equação em u pelo discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC,
onde aqui A=y^{2}, B=0, C=x^{2}. Logo
\Delta = 0 - 4\,y^{2}\,x^{2} = -4\,x^{2}y^{2}<0
(válido na maior parte do domínio), caracterizando uma equação elíptica.

Passo 3

Num problema elíptico em domínio fechado, costuma‐se prescrever apenas valores de u sobre toda a fronteira: isso é um problema de contorno (Dirichlet).
Não há derivada temporal nem condições em “ t=0” ou similar, logo não é problema de Cauchy nem há parte mista.

Passo 4

Como o contorno está paramet­rizado por t\in[0,2\pi] e pontos extremos t=0 e t=2\pi coincidem no mesmo ponto (0,3), é preciso verificar compatibilidade:
f(t)=t\,(2\pi-t) \quad\Longrightarrow\quad f(0)=0,\quad f(2\pi)=2\pi\,(2\pi-2\pi)=0.
Portanto f(0)=f(2\pi) e a condição de contorno é contínua e compatível.

Resposta

Este é um problema de contorno (Dirichlet) para uma equação elíptica.
A única função dada, t\mapsto t(2\pi-t), satisfaz a condição de compatibilidade f(0)=f(2\pi).

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