Calcule a integral usando a integração por partes.
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \operatorname{tg}^{2} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\tan^{2}(2x)\,dx
O conteúdo é integração de função trigonométrica. Vamos usar a identidade
\tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1
para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Aplicando a identidade com \theta=2x:
\tan^{2}(2x)=\operatorname{sec}^{2}(2x)-1.
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\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\tan^{2}(2x)\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl[\operatorname{sec}^{2}(2x)-1\bigr]\,dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx \;-\;\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}1\,dx.

Passo 3

Calculemos
\displaystyle\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Fazendo a substituição simples u=2x, du=2\,dx, temos
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx =\frac12\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du =\frac12\tan(u)+C =\frac12\tan(2x)+C.

Passo 4

Evidentemente
\int 1\,dx = x + C.
Portanto a primitiva de \tan^{2}(2x) é
\frac12\tan(2x)-x + C.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites de 0 a \pi/6:
\left[\frac12\tan(2x)-x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} =\Bigl(\tfrac12\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-\tfrac{\pi}{6}\Bigr) -\Bigl(\tfrac12\tan(0)-0\Bigr).
Como \tan(\pi/3)=\sqrt3 e \tan(0)=0, isso dá
\frac12\sqrt3-\frac{\pi}{6}-0 =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}.

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\tan^{2}(2x)\,dx =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}.

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