O volume V em litros de ar nos pulmões durante um ciclo respiratório de cinco segundos é aproximado pelo modelo
V=0,1729 t+0,1522 t^{2}-0,0374 t^{3}
onde t é o tempo em segundos. Estime o volume médio do ar nos pulmões durante um ciclo.

Passo 1

O enunciado dá o volume de ar nos pulmões como função do tempo em segundos
V(t)=0{,}1729\,t+0{,}1522\,t^{2}-0{,}0374\,t^{3}
e pede o volume médio durante um ciclo de 5 segundos. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função num intervalo, que se calcula por
\overline{V} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}V(t)\,dt,
com a=0 e b=5.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do valor médio:
\overline{V} = \frac{1}{5-0}\int_{0}^{5}\bigl(0{,}1729\,t+0{,}1522\,t^{2}-0{,}0374\,t^{3}\bigr)\,dt = \frac{1}{5}\int_{0}^{5}\bigl(0{,}1729\,t+0{,}1522\,t^{2}-0{,}0374\,t^{3}\bigr)\,dt.

Passo 3

Calculamos a integral termo a termo:
\int_{0}^{5}0{,}1729\,t\,dt =0{,}1729\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{5} =0{,}1729\cdot\frac{25}{2} =2{,}16125.
\int_{0}^{5}0{,}1522\,t^{2}\,dt =0{,}1522\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{5} =0{,}1522\cdot\frac{125}{3} \approx6{,}34167.
\int_{0}^{5}-0{,}0374\,t^{3}\,dt =-0{,}0374\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{5} =-0{,}0374\cdot\frac{625}{4} =-5{,}84375.

Passo 4

Somamos os resultados da integral:
\int_{0}^{5}V(t)\,dt =2{,}16125 + 6{,}34167 - 5{,}84375 \approx2{,}65917.

Passo 5

Por fim, dividimos por 5 para obter o valor médio:
\overline{V} =\frac{2{,}65917}{5} \approx0{,}53183\\ \text{litros}.

Resposta

O volume médio de ar nos pulmões durante o ciclo de 5 segundos é aproximadamente 0{,}532 litros.

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