Calcule a integral usando a integração por partes:
\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}} d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \r
\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr
usando o método de integração por partes. O conteúdo é técnicas de integração, e vamos precisar de uma escolha inteligente de u e dv, além de uma substituição simples para encontrar uma das primitivas.

Passo 2

Escrevemos o integrando como \r
\frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}=r^{2}\cdot\frac{r}{\sqrt{4+r^{2}}}
e escolhemos \r
\begin{cases} u = r^{2},\\\ dv = \frac{r}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr. \end{cases}

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 2r\,dr.
Para v, usamos a substituição
t = 4+r^{2},\quad dt = 2r\,dr
então
v = \int \frac{r}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr = \int \frac{1}{2}\,\frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2}\cdot 2\,t^{\tfrac12} = \sqrt{4+r^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes \displaystyle\int u\,dv = u\,v - \int v\,du, obtemos
\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr = r^{2}\,\sqrt{4+r^{2}} - \int \sqrt{4+r^{2}}\;\bigl(2r\,dr\bigr).

Passo 5

Para a integral remanescente, novamente usemos t=4+r^{2}, dt=2r\,dr:
\int 2r\,\sqrt{4+r^{2}}\,dr = \int \sqrt{t}\,dt = \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,(4+r^{2})^{\tfrac32}.

Passo 6

Substituindo de volta,
\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr = r^{2}\sqrt{4+r^{2}} - \frac{2}{3}(4+r^{2})^{\tfrac32} + C.
Podemos reescrever de forma mais compacta:
r^{2}\sqrt{4+r^{2}} = (4+r^{2})^{\tfrac32}-4(4+r^{2})^{\tfrac12},
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\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr = \frac{1}{3}\,(4+r^{2})^{\tfrac32} -4\,(4+r^{2})^{\tfrac12} + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{r^{3}}{\sqrt{4+r^{2}}}\,dr = \frac{1}{3}\,(4+r^{2})^{\tfrac32} -4\,(4+r^{2})^{\tfrac12} + C.}

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