Calcule a integral usando a integração por partes:
\int \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
escolhendo u e dv de forma conveniente.

Passo 2

Escolhemos
u = \arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr), \quad dv = dx.
Então
v = \int dv = x
e, para du, usamos a derivada de \arctan(t) com t=1/x:
du = \frac{1}{1+(1/x)^2}\,\bigl(-\tfrac1{x^2}\bigr)\,dx = -\frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int \arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,\arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr) - \int x\!\bigl(-\tfrac{1}{x^2+1}\bigr)\,dx
= x\,\arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr) + \int \frac{x}{x^2+1}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx.
Fazendo a substituição w = x^2+1, dw = 2x\,dx, obtemos
\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac12 \int \frac{dw}{w} = \frac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr).

Passo 5

Substituindo de volta, a integral original fica
\int \arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr)\,dx = x\,\arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr) + \frac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr) + C.

Resposta

x\,\arctan\!\bigl(\tfrac1x\bigr) + \frac12 \ln\bigl(x^2+1\bigr) + C.

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