Calcule a integral usando a integração por partes:
\int e^{s} \operatorname{sen}(t-s) d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int e^{s}\sin(t - s)\,ds
usando integração por partes, tratando t como constante.

Passo 2

Definimos
u = \sin(t - s), \quad dv = e^{s}\,ds.
Então
du = -\cos(t - s)\,ds, \quad v = \int e^{s}\,ds = e^{s}.
Pelo teorema de integração por partes,
I = uv - \int v\,du = e^{s}\sin(t - s) - \int e^{s}\bigl(-\cos(t - s)\bigr)\,ds = e^{s}\sin(t - s) + \int e^{s}\cos(t - s)\,ds.

Passo 3

Chame
J = \int e^{s}\cos(t - s)\,ds.
Para J usamos novamente partes com
u_{2} = \cos(t - s), \quad dv_{2} = e^{s}\,ds.
Calculamos
du_{2} = \sin(t - s)\,ds, \quad v_{2} = e^{s}.
Logo,
J = u_{2}v_{2} - \int v_{2}\,du_{2} = e^{s}\cos(t - s) - \int e^{s}\sin(t - s)\,ds = e^{s}\cos(t - s) - I.

Passo 4

Voltando para I:
I = e^{s}\sin(t - s) + J = e^{s}\sin(t - s) + \bigl(e^{s}\cos(t - s) - I\bigr),
portanto
2I = e^{s}\bigl[\sin(t - s) + \cos(t - s)\bigr]
e, dividindo por 2,
I = \frac{e^{s}}{2}\bigl(\sin(t - s)+\cos(t - s)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{s}\sin(t - s)\,ds = \frac{e^{s}}{2}\bigl(\sin(t - s)+\cos(t - s)\bigr) + C.

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