Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é para calcular a integral
Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para isso, precisamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão , notamos que ela se parece com a identidade trigonométrica . Para aproveitar isso, fazemos:
Dessa forma, temos:
Então, a raiz fica:
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de . Diferenciando em relação a :
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Para resolver $ \int \tan^{5}\theta \cdot \sec\theta , d\theta$, vamos usar a identidade . Separe um fator :
Agora, fazemos uma substituição adicional para facilitar a integração. Vamos deixar , então .
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, expandimos :
Então, a integral fica:
Passo 7
Voltando para a variável original , lembrando que , temos:
Passo 8
Agora, precisamos expressar a resposta em termos de . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar as relações necessárias.