Calcule a integral usando a substituição trigonométrica adequada.
integral t^5raizt^2+2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado é para calcular a integral
integral t^5raizt^2+2 , dt
Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios. Para isso, precisamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão raizt^2 + 2, notamos que ela se parece com a identidade trigonométrica 1 + tan^2theta = sec^2theta. Para aproveitar isso, fazemos:
t = raiz2 tantheta
Dessa forma, temos:
t^2 + 2 = 2 tan^2theta + 2 = 2(tan^2theta + 1) = 2sec^2theta
Então, a raiz fica:
raizt^2 + 2 = raiz2 sectheta

Passo 3

Agora, precisamos expressar dt em termos de theta. Diferenciando t = raiz2 tantheta em relação a theta:
dt = raiz2 sec^2theta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original:
integral t^5raizt^2+2 , dt = integral (raiz2 tantheta)^5raiz2 sectheta cdot (raiz2 sec^2theta , dtheta)
Simplificando os termos:
= integral 2^5/2 tan^5thetaraiz2 sectheta cdot raiz2 sec^2theta , dtheta
= integral 2^2 tan^5theta cdot sectheta , dtheta
= 4 integral tan^5theta cdot sectheta , dtheta

Passo 5

Para resolver $ \int \tan^{5}\theta \cdot \sec\theta , d\theta$, vamos usar a identidade integral tan^5theta cdot sectheta , dtheta. Separe um fator tan^2theta = sec^2theta - 1:
tan^4theta
Agora, fazemos uma substituição adicional para facilitar a integração. Vamos deixar tan^5theta cdot sectheta = tan^4theta cdot tantheta cdot sectheta = (sec^2theta - 1)^2 cdot tantheta cdot sectheta , então u = sectheta.

Passo 6

Substituindo na integral:
4 integral (sec^2theta - 1)^2 cdot tantheta cdot sectheta , dtheta = 4 integral (u^2 - 1)^2 , du
Agora, expandimos (u^2 - 1)^2:
(u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1
Então, a integral fica:
4 integral (u^4 - 2u^2 + 1) , du = 4 ( u^55 - 2u^33 + u ) + C

Passo 7

Voltando para a variável original theta, lembrando que u = sectheta, temos:
4 ( sec^5theta5 - 2sec^3theta3 + sectheta ) + C

Passo 8

Agora, precisamos expressar a resposta em termos de t. Lembrando que t = raiz2 tantheta, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar as relações necessárias.
No triângulo:
  • O cateto oposto a theta é t = raiz2 tantheta.
  • O cateto adjacente é raiz2.
  • A hipotenusa é raizt^2 + 2.
Então,
sectheta = raizt^2 + 2raiz2

Passo 9

Substituindo sectheta de volta na expressão:
4 ( (raizt^2 + 2raiz2)^55 - 2(raizt^2 + 2raiz2)^33 + raizt^2 + 2raiz2 ) + C
Simplificando:
4 ( (t^2 + 2)^5/25 cdot 2^5/2 - 2(t^2 + 2)^3/23 cdot 2^3/2 + (t^2 + 2)^1/22^1/2 ) + C
= 45 cdot 2^5/2 (t^2 + 2)^5/2 - 83 cdot 2^3/2 (t^2 + 2)^3/2 + 42^1/2 (t^2 + 2)^1/2 + C
Pode-se simplificar os coeficientes, mas vamos deixar dessa forma para manter a clareza.

Resposta

A integral é igual a
45 cdot 2^5/2 (t^2 + 2)^5/2 - 83 cdot 2^3/2 (t^2 + 2)^3/2 + 42^1/2 (t^2 + 2)^1/2 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados