Escreva a série de Laurent (em torno de
) de
para
.
Passo 1
No enunciado, a gente precisa achar a expansão em série de Laurent de
f(z)=\frac{3}{2+z-z^2}
em torno de z₀=0, mas em três regiões distintas: |z|<1, 1<|z|<2 e |z|>2. Vamos usar frações parciais e séries geométricas.
f(z)=\frac{3}{2+z-z^2}
em torno de z₀=0, mas em três regiões distintas: |z|<1, 1<|z|<2 e |z|>2. Vamos usar frações parciais e séries geométricas.
Passo 2
Começo reescrevendo o denominador:
Então
Fazendo frações parciais:
De -3=A(z+1)+B(z-2) vem, para z=2: A=-1, e para z=-1: B=1. Logo
Passo 3
Para |z|<1 expandimos cada termo em potências não negativas:
-
, pois é a série geométrica de razão -z e |z|<1. -
, válida para |z|<2 que contém |z|<1.
Somando, obtemos
válida para |z|<1.
Passo 4
Para 1<|z|<2 misturamos potências positivas e negativas:
- Agora |z|>1, então
- E ainda |z|<2, então
Logo
válida para 1<|z|<2.
Passo 5
Para |z|>2 ambas as frações viram série em potências negativas:
- Como antes,
válida para |z|>1.
2) E para |z|>2,
2) E para |z|>2,
Somando,
válida para |z|>2.
Resposta
Para |z|<1:
Para 1<|z|<2:
Para |z|>2: