Escreva a série de Laurent (em torno de z0=0 ) de
f(z)=32+z-z^2
para |z|<1,1<|z|<2 e|z|>2.

Passo 1

No enunciado, a gente precisa achar a expansão em série de Laurent de
f(z)=\frac{3}{2+z-z^2}
em torno de z₀=0, mas em três regiões distintas: |z|<1, 1<|z|<2 e |z|>2. Vamos usar frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Começo reescrevendo o denominador:
2+z-z^2=-(z^2 - z -2)=-(z-2)(z+1)
Então
f(z)=32+z-z^2=-3(z-2)(z+1)
Fazendo frações parciais:
-3(z-2)(z+1)=Az-2+Bz+1
De -3=A(z+1)+B(z-2) vem, para z=2: A=-1, e para z=-1: B=1. Logo
f(z)=1z+1-1z-2

Passo 3

Para |z|<1 expandimos cada termo em potências não negativas:
  1. 1z+1=sumn=0^infty(-1)^n z^n, pois é a série geométrica de razão -z e |z|<1.
  2. -1z-2=12,11-tfracz2=sumn=0^inftyz^n2^n+1, válida para |z|<2 que contém |z|<1.
    Somando, obtemos
f(z)=sumn=0^inftyl((-1)^n+2^-(n+1)r)z^n,
válida para |z|<1.

Passo 4

Para 1<|z|<2 misturamos potências positivas e negativas:
  1. Agora |z|>1, então
1z+1=1z,11+1/z=sumn=0^infty(-1)^n z^-(n+1)=sumn=1^infty(-1)^n-1z^-n
  1. E ainda |z|<2, então
-1z-2=sumn=0^inftyz^n2^n+1
Logo
f(z)=sumn=1^infty(-1)^n-1z^-n+sumn=0^inftyz^n2^n+1,
válida para 1<|z|<2.

Passo 5

Para |z|>2 ambas as frações viram série em potências negativas:
  1. Como antes,
1z+1=sumn=1^infty(-1)^n-1z^-n,
válida para |z|>1.
2) E para |z|>2,
-1z-2=-1z11-2/z=-sumn=0^infty2^n z^-(n+1)=-sumn=1^infty2^n-1z^-n
Somando,
f(z)=sumn=1^inftyl((-1)^n-1-2^n-1r)z^-n,
válida para |z|>2.

Resposta

Para |z|<1:
f(z)=sumn=0^inftyl((-1)^n+2^-(n+1)r)z^n
Para 1<|z|<2:
f(z)=sumn=1^infty(-1)^n-1z^-n+sumn=0^inftyz^n2^n+1
Para |z|>2:
f(z)=sumn=1^inftyl((-1)^n-1-2^n-1r)z^-n

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